274 Sulle curve funicolari 



essendo : 



Si ponga quindi 



V=j{U- kf 



dx , di/ 



r, = ^ (a;" + .v'^ + 2") , H, = T, - V. 



Sarà r, una funzione omogenea di secondo grado rispetto alle 

 quantità -—- (che denoteremo brevemente con q'„) con coefficienti 

 funzioni note delle variabili q,,. Si ponga inoltre : 



dT, 



■■ Pi.- , 



dq 



e si esprimano quindi T,, H, per mezzo delle variabili q,„ p^. 

 r, si trasformerà in una funzione omogenea di secondo grado ri- 

 spetto alle p,. con coefficienti funzioni di q,. . Se nei sistemi (§ I , 

 2,4) si sostituiscono invece di — XT , — YT , ^ ZT le espres- 

 sioni date dalle (2) , evidentemente questi sistemi potranno ri- 

 dursi alla forma : 



ds, Sp,, ' da, Sq,, 



Ricordando poi che , per le posizioni fatte , la funzione caratteri- 

 stica //i contiene necessariamente la costante k dell' integrale (1) 

 del problema, e supposto che si sappia trovare una soluzione com- 

 pleta dell' equazione differenziale parziale corrispondente al siste- 

 ma (3) , sarà facile dedurre da questo sistema le equazioni inte- 

 grafi del problema dell' equilibrio contenenti , oltre la costante k, 

 solamente altre tre o cinque costanti arbitrarie distinte, secondochè 

 è no data la condizione che il filo sia obbligato a rimanere so- 

 pra una superficie assegnata. 



