340 Sulle curve brachisfocrone 



di secondo grado rispetto alle quantità ~ (che denoteremo in que- 

 sto momento con q';,) con coefficienti che sono funzioni note delle 

 variabili q,,. Si ponga inoltre : 



37; 



e si esprimano quindi T, , H, per mezzo delle variabili q^^ p^.. 

 Allora T, diviene una funzione omogenea di secondo grado rispetto 

 alle p„ con coefficienti funzioni delle q^. Se nei sistemi (§ I. 4, 6) 



Y Y Z 



si sostituiscono per — ^ , — ^r, , — ^j le espressioni date dalle (1), 



evidentemente questi sistemi potranno porsi poi sotto la forma: 

 dq,. _ dH, dp,. _ dH, 



dti 3pK ' df, dq,.- 



Ricordando quindi che, per le posizioni fatte, la funzione carat- 

 teristica H^ contiene necessariamente la costante k delle forze vive, 

 e supposto che si sappia trovare una soluzione completa dell' equa- 

 zione differenziale parziale corrispondente al sistema (2), sarà facile 

 dedurre da questo sistema le equazioni integrali del problema del 

 moto brachistocrono contenenti complessivamente, oltre la costante k 

 delle forze vive, altre tre o cinque costanti arbitrarie distinte, se- 

 condochè è data o no la condizione che il moto debba aver luogo 

 sopra una superficie assegnata. 



§. IV. 



Ma si può, senza cambiamento della variabile indipendente t , 

 e senza introdurre la costante delle forze vive nelle equazioni diffe- 

 renziali del moto brachistocrono, far dipendere, nella seguente ma- 

 niera, da un sistema canonico la determinazione degl'integrali non 

 contenenti esplicitamente il tempo, riducendo in ultimo ad una 

 quadratura la determinazione del rimanente integrale contenente 

 esplicitamente il tempo. 



