Sulle curve hrachistocrone 343 



in comune gl'integrali non contenenti esplicitamente il tempo. 



Se non è data la condizione (§ I. 5), prendiamo per ^, , q^, q^ 

 le variabili .r, //, z, sicché : 



p, = r, =^ u, p, = r, = V, p, = *-3 = w. 



La ricerca degrintegrali, non contenenti esplicitamente il tempo, del 

 sistema (3), e perciò anche del sistema (2), dipenderà, come si sa, 

 dalla teoria dei sistemi canonici, dalla ricerca di una soluzione 

 completa dell'equazione differenziale parziale di prim'ordine: 



— - t7= A-, (4) 



r,' -t- r, + 

 essendo k una costante arbitraria, e dove: 



_ a^' , _ 9^ _ 9*' 



'■' ~ dx ' ''' ~ dy ' '"' ~ dz ■ 



Se è data la condizione (§ I, 5), la determinazione degl' inte- 

 grali non contenenti esplicitamente il tempo dipende invece dalla 

 ricerca di una soluzione completa dell' equazione : 



2^^^-^^^ -U=k, (5) 



Gì;' — 2F)\ ì\ -f- Sr,' 



nella quale : 



Sia: 



_ as _ ds_ 



§ V. 



f ( x, y, z, u, e, w ) = h, 



essendo /i una costante arbitraria , un integrale , non contenente 



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