

346 Sulle curve brachisfocrone 



§ VI. 



Cerchiamo in quali casi il sistema (§ I, 2, 3) delle equazioni 

 del moto brachistocrono ammetta un integrale della forma : 



Au ■+- Bv + Cw -^ D = Ti, (1) 



essendo // una costante arbitraria, e A, B, C, D funzioni di «, y, 

 z, da determinarsi. Affinchè lo stesso sistema ammetta l'integra- 

 le (1), si dovrà avere identicamente per valori arbitrari di ciascuna 

 delle sei quantità x, y, z, u, v, tv : 



idA dA dA \ ,?B ^ dB dB \ 



\dx dy dz I \ dx ày dz ' 



tdC dC dC \ SD ^ dD dD 



-+■ \^ — '« -i — ^; — '' -^ — ^ — w \ w -r -j — « -r- -^ — t -r- , 

 \ dx dy dz ì dx ày dz 



- \ (li? + r' + w') K^AX + BY ^ GZ) ^^. 

 4 



Tale equazione, siccome u, v, w vi compariscono soltanto esplici- 

 tamente, si scinde nelle seguenti : 



AX + BY + CZ :^0, 



dx dy dz 





dA ^ dB ^ dB dO _ dC dA _ i (2) 



dx ' dy dz 



Quest' equazioni sono quelle stesse , che devono essere verificate , 

 affinchè le equazioni del moto d' un punto libero : 



d'x _ ^ — Y ^ — 7 



dF ~ ' dt' ~ ' dt^ 



