Sulle cu ree brachistocrone 347 



iieir ipotesi che F, A', Z siano funzioni delle sole coordinate, am- 

 mettano un integrale primo della forma : 



dt dt di 



Perciò il pili generale integrale, della forma (1), del problema del 

 moto brachistocrono è : 



Ut + lìiv + nw + p {zc — ijW) + q [.no — su) + r (yii — ccv) = h, 



ossia : 



^ dx du dz i dy dz\ i dz dx 



I dx di/ \ , ,„ 



essendo /, ///, )i, p, q, r costanti qualunque. La condizione per le 

 forze è : 



[l + ry — qz) X + (m + pz — rx) Y + (n + qx - py) Z = , 

 sicché U dovrà soddisfare all' equazione : 



du du - , du ^ 



( l -h rq — qz) — -i- (m ->r pz — rx) -^ h (n+-qx — py) — = . 



Si ha così questo teorema: (*) Nel moto brachistocrono d' un punto 

 materiale, se le linee d' azione della forza sollecitante appartengono ad 

 un complesso lineare, il momento della quantità di moto del punto ri- 

 spetto al complesso è, per tutta la durata del moto, proporzionale alla 

 forza lì iva. 



Questo teorema è pure conseguenza immediata del teorema 



(*) Cfr. Cereuti, Intorno ad una generalizzazione di alcuni teoremi di Meccanica. Col- 

 lectanea Mathematica in memoriam D. Chelini. Milano 1881. 



