ì^ulle curve hrachhtocrone "549 



Sia — un fattore integrante dell'espressione differenziale Adq^ + Bdq.^ , 



e sia: 



1 



( Adq, + Bdqs ) = dm , 



P 



essendo m una funzione di q^ , q^. Al sistema di coordinate curvili- 

 nee 2i , q^ sostituiamo il sistema delle coordinate curvilinee m = cosi. 

 e un altro sistema n = cosi., che, per semplicità, supporremo essere 

 quello delle loro traiettorie ortogonali. L' equazione {-D prenderà la 

 forma più semplice : 



^ dt 



dm 



-hC = h. 



Dunque, continuando a chiamai-e qt, q. le nuove coordinate cur- 

 vilinee , si vede che , dato un integrale della forma (1) , esso si 

 può sempre ridurre alla forma piìi semplice: 



Bp,-hC^h. (3) 



Essendosi supposte le coordinate curvilinee q, , q.^ ortogonali , 

 si ha : 



ds' — Edq,' + Gdq,-, 



e le equazioni (§ II, !2, 8) divengono: 



E dp, _ P, l SE , dE 1 dG , \ 



TW -~ T' ~Y Sq, P' ~ a^ ^'^■' "^ 2" 2^ ^ ^ ' I 



G dpi _ P, 1 dE ^ SG l 3G .^ \ 



Affinchè la (3) sia integrale d' un problema , si dovrà avere iden- 



(4) 



