Sulle curve brachistocrone 351 



Dalle (9) si trae che C è costante, ed è chiaro che si può 

 supporre eguale a zero. È evidente che B non può essere identi- 

 camente nullo, sicché la (8) dà: 



'^ =0. 



dq^ 



Da ciò, per un noto teorema di Gauss, si deduce che le linee 

 q^ = cosL sono geodetiche. Essendo E funzione della sola q, , se si 

 fa un cambiamento di variabile col porre j' —=- in luogo q, , le U- 

 nee coordinate non sono cangiate, e il quadrato dell'elemento linea- 

 re assume la forma più semphce: 



rf.s-* = dq\ -f- Gdq\ . 



La (7), integrata, offre : 



B = f{q,)G, 



essendo /' [q^) una funzione arbitraria di q,. Sostituendo quest'e- 

 spressione di B in (6) e integrando, si ha: 



[f(q-2)Y 



dove ? iq^) è una funzione arbitraria di (/i . 



Facendo un cambiamento di variabile col porre dq., invece di 

 , con che le linee coordinate non sono cangiate, il quadrato 



A?, 



dell'elemento lineare prende la forma piti semplice 



ds' ^ dq\ +<p{q,)dq%. (10) 



Onde: affinchè il problema ammetta un integrale della forma (1), 

 è necessario che la superficie sia di rivoluzione od applicabile sopra 

 una superficie di rivoluzione. La condizione delle forze è espressa 

 dalla (5), sicché la funzione di forza U, dipenderà solamente da ^i . 



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