352 Sulle curve brachintocrone 



L'integrale (3) diviene: 



Gp, = h, (11) 



ossia : 



G dq^ __ 

 T dt ~ ' 



dove G è funzione di ^i soltanto. (*) 



§ Vili. 



Trovata la forma più semplice a cui si possono sempre ridurre 

 gì' integrali della forma (§ VII, 1), si può procedere come segue , 

 per riconoscere in tutti i casi 1' esistenza di siffatti integrali. 



Sia data una superficie di rivoluzione od applicabile sopra una 

 superficie di rivoluzione, e prendiamo sopra di essa un sistema di 

 coordinate curvilinee, formato da una serie qualunque di linee geo- 

 detiche 22 = cosi, e da quella delle loro traiettorie ortogonali q,=-cost., 

 sicché il quadrato dell' elemento lineare della superficie possa pren- 

 dere la forma : 



d.r = dq\ -+- Gdq\ , 



essendo G funzione di r/, soltanto. 



Supponiamo che l'equazione (§ VII, 1) sia un integrale delle 

 equazioni del moto brachistocrono sopra la superficie data. 



Avendo riguardo alle equazioni (§ II, 2, 3, 4), si dovrà avere 

 identicamente: 



I dA dA \ I dB dB \ c)C , dC 



(*) Cfr. Cerruti, memoria citata. 



