Sulle curve hraclnstocrone 353 



Queste equazioni si scinde nelle seguenti : 



4^ = 0, 1^ = 0, (1) 



dB A SG ^ a^ r^ ^^ 3^ B dG ^ ,^ 



= 0»^r-=0, ^— + ^^- __- = o (2) 



dqì 2 dqt ' dqi ' dqi dqi G dq^ 



AGP, + BPi = 0. (3ì 



Quest' equazioni sono quelle stesse che devono essere verifi- 

 cate, affinchè le equazioni del moto di un punto obbligato sempli- 

 cemente a rimanere sopra la superficie data, ammettano un inte- 

 grale della forma : 



dt clt 



Dalla ( l) si vede che C è costante , sicché questo termine 

 dell' equazione (§ VII, 1) si può supporre identicamente nullo, come 

 nel § precedente. 



Alle (2) si può soddisfare, nel modo più generale, in due ma- 

 niere, cioè in primo luogo con : 



A =0, E = G, 



qualunque sia G , purché, come si è supposto, funzione della sola 

 q^ , e con ciò si ricade nelle formule finali del § VII, e la superficie 

 data può essere una superficie qualunque di rivoluzione od appli- 

 cabile sopra una superficie di rivoluzione. Oppure, come risulta dalla 

 memoria citata del Cerruti, si può soddisfare alle stesse equazioni 

 con : 



^ = a cos ^ (92! > + «i) , 



VG = /^ coshiq, VZ + y,), 

 B = >.(? — san h ( q^ |/T~+ «i ) ^r— , 



dove a, ■3'i , ■>, 7i , 72 , ' sono costanti arbitrarie. 



