Sulle ciirce brachistocrone 355 



L'integrale delle forze vive offre 



= \ +1-, (1) 



[--(t 



dqi 

 essendo /• una costante arbitraria, sicché 



p _ 2 d G 



A' dq^ ^ , (dq., 



dqi 



Reciprocamente, data P^, si ha V = f P^dq^, e quindi l'equa- 

 zione differenziale ordinaria di primo ordine (1), integrata, ci forni- 

 rà l'equazione della curva brachistocrona in termini finiti. 



S X. 



Volendo servirsi delle equazioni (§ IV , 2) , (*) si osservi che 

 r equazione (§ VII, 1) equivale alla seguente : 



A^ ì\ -\- Bifi + C — h, (1) 



dove : 



. _ AG - BF _ —AF-h BE 



^' - EG - F-' ' ^' - EG-F' ' 



Supponendo le linee coordinate ortogonali, è Ai eguale o dif- 

 ferente da zero, secondochè A è eguale o differente da zero, sic- 

 ché, come l'equazione (§ VII, 1) si può ridurre sempre alla for- 

 ma (§ VII, 3), così l'equazione (1) si può sempre ridurre alla forma: 



B^n -+- — h. (2) 



(*) Cfr. E. Padova , memoria citata. 



