356 Sulle curve brachistocrone 



Indicando con A' , If i primi membri del (§ IV, 5) , (2) ri- 

 spettivamente, la condizione necessaria e sufficiente, affinchè la (2) 

 sia integrale di un problema, è che si abbia identicamente : 



(K, H) = 0. 



Sviluppando quest'equazione, si trova che essa si scinde nelle 

 seguenti : 



(3) 

 (4) 

 (5) 

 (6) 

 (7) 



Dalle (3) si vede che si può supporre C=0, La (4) ci fornisce 

 la condizione (§ VII , 5) già trovata per la forza. La (5) esprime 

 che E è funzione della sola curvabile q^ , sicché, ponendo -77= in- 

 vece di dqi , le linee coordinate non sono cangiate, e il coefficiente 

 di dqi neir espressione del quadrato dell' elemento lineare divie- 

 ne =1. Perciò si può supporre identicamente E=^i. 



Dalle (6), (7) si deduce facilmente che G avrà la forma : 



G — fiqi)i'{qi). 



Ponendo quindi .,=%^< invece di dq^, il coefficiente di dqlneì- 



