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C'est une équation de M. Volterra dont la solution a la forme 



(7) fx(x) = F(.r) + ,/(o)G(.r)+ r U(jr,>)T:[/,a)]dl 



On obtient de la même manière 



(8) 



7i(x) = M(.r)+ r P{a:,c)lJ.[/,a)]dl 



«^0 



En éliminant ■k(x) entre (8) et ("]) et en mettant /(a?) =/. |/, (r)], on 

 a un résultat de la forme 



lJ.(jr) = E(x) + J(.v)iJ.{o) + f K(.r, ;')^ [/(;)] f/;. 



C'est une équation qui rentre dans le type étudié par M. Picard (Comptes 

 rendus, mai 1907). La solution a la forme 



pL(x)r=S(^-)-hfx(o)T(^). 



Cette valeur mise dans (8) donne 



7r(x) = U(j-) + ,u(o) V(.r). 



Ces valeurs de [^(a?) et "^(y) introduites dans (6) donnent un résultat de 

 la forme 



En faisant a? ^aro,^x = ^^0 etw^a,,, on aura une équation pour détermi- 

 ner [J(-(o). Cette dernière opération n'est pas possible si le coefficient de 

 [x(o) est zéro. Alors la courbe $(a:-, j) = o sera le lieu des points caracté- 

 ristiques et, pour ces points en général, les conditions (2), (3), (4) ne peu- 

 vent être remplies. En écbange on a une infinité de solutions caractéris- 

 tiques C<I>(.2;. y) dont les dérivées sont nulles sur les courbes données et 

 «„ = o au point aTojjn. Dans le cas spécial où, ^o» Jo étant un point carac- 

 téristique, u„ a la valeur W(x^, >'„), a(o) reste indéterminé, et alors le 

 problème posé admet une infinité de solutions dépendant d'un paramètre 



l = lx(o) : 



u(:r,y)=W{.v,y)-hl^(x,y). 



Dans le cas de l'équation (i), la solution u{x^y) satisfait à une équation 

 contenant u(x, y) sous les signes / et / / . Une telle équation a été trans- 

 formée par M. Volterra (Atti dei Lincei, 1896) dans une des formes ordi- 



