SÉANCE DU l3 JUILLET 1908. "7 



Dans ces divers cas, cliaqiie système de solutions stables réelles est de la 

 forme 



a^o, lim£^. = pour / = + co [p, = o, ..., Pj=o, pj+,, ..., p„ est une 

 solution réelle de (3)]. De plus, pour ces solutions, lorsque X; contient a;, 

 en facteur, ce,- garde le même signe quand I varie de o à + ^. 



On a encore des résultats analogues pour le système (2), quand on y sup- 

 pose les coefficients des X, légèrement variahles avec x,, . . . , a?,- et même t, 

 pourvu que les | p,- 1 restent > y (y fixe > o) et que les coefficients aient une 

 limite pour :r, = . . . = ^„ = o, / = + ce. Les formules (4) se conservent, 

 les Pi étant une solution du système (3), où l'on remplace les coefficients 

 des X, par leurs limites. Si ces coefficients remplissent les conditions 

 ci-dessus pour tout l'espace (à n dimensions), les conditions pi>Y) •••) 

 p„> Y sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que toutes les solu- 

 tions soient stables quelles que soient les valeurs initiales. 



II. Cas où/) est pair. - On a des énoncés semblables pour les solutions 

 de valeurs initiales {t = o) positives >o, si a-,, . . . , x,, restent positifs. 

 C'est le cas lorsque, quel que soit /, X'. est à la fois de la forme X, + Yj- 

 et l'^ + x/i". (% indépendant de a-, et ^o pour .r,, ..., a-,_, positifs). 



Enfin, si les Y,- sont holomorphes dans le domaine de l'origine, que/? soit 

 pair ou impair, les t,, peuvent se calculer, en général, quand on a /j > 2 

 et t assez grand, grâce à un théorème de; M. Poincaré. 



III. Généralisations et applicalinns. — On peut aussi supposer X', = ^/j 

 X'. fonction de r,, . . . , xr, U;=: U,H- R,, U, élaiit un polynôme homogène 

 de degré />,, R,- étant formé de termes de degré >/?,; Y,- = a;;''( i -F- Z'.), 

 liinZ.= o pour .r, = . . . = a?, = o; />,, p\ entiers; /7,-/>, >i. Dans des 

 cas étendus, on obtient alors des résultats analogues aux précédents. On 

 rencontre des systèmes d'équations différentielles de ce type (' ) dans l'étude 

 du régime de certains systèmes de n réservoirs, cylindriques ou non. 



Des méthodes semblables s'appliquent à l'étude du régime de sys- 

 tèmes S,, ..., S„ de n réservoirs, cylindriques ou non, remplissant les 

 conditions ci-après : chacun se vide dans un ou plusieurs des suivants; les 

 exutoires d'un même réservoir sont tous des déversoirs non noyés de lar- 

 geur assez peu variable et de crête horizontale au même niveau, ou tous 



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(') Bull, de la Soc. inalk., t. XXXIII, igoS, p. i3i, 137. 



C. li., njus, 2» Semestre. (T. CXLVII, N- 2.) ï" 



