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des ajutages de sections assez petites et dont les centres de gravité sont au 

 même niveau; enfin, si un réservoir S, ne reçoit de l'eau d'aucun des autres 

 réservoirs, il est alimenté par un déJjiL permanent A.- 7^ o (en particulier 

 A, ^ o). Le régime est alors défini par les n équations 



dz 



;.fl/=B, + *„s'î. + ...+ i,,,_,^?:.V-^',/4 ('= >,2, ..., «); 



dt 



bii et l'une des quantités B,-, 6,-,, . . ., />,,,_,, positives ou nulles, restent > y 

 (Y fixe > o), et tous ces coefficients sont limités supérieurement, 0,- ^ i 

 ou 3. On vérifie qu'il y a un ou plusieurs régimes permanents limites (un en 

 général) de toute solution. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les produits canoniques de genre infini. 

 Note de M. Arnaud Dexjoy, présentée par M. H. Poincaré. 



Dans une Note du 29 juin dernier, j'ai énoncé quelques résultats concer- 

 nant les facteurs primaires. Voici les applications que j'en ai faites à la 

 théorie des fondions entières de genre infini. 



Relations entre l'ordre de grandeur et la croissance de la suite des zéros pour 

 un prodidt canonique de genre infini. 



Soit 



" / - \ — + + — (— V" 



le produit canonique considéré, dont nous supposons donnée la suite des 

 modules des zéros et arbitraire la distribution des arguments. Le choix de 

 l'exposant />„ a été expliqué dans une Note du i3 janvier 1908 et d sera 

 précisé ci-dessous. 



Soit /•„= |a„|. Nous posons logr„ = a;„, log/i = j„, et nous interpolons de 

 façon à avoir une fonction j(a;) continue et croissante, telle que j(a-„) = j„. 

 Posons \z.\ = r = é^ et j(X)=Y. Nous supposerons l'interpolation telle 

 que y soit munie de dérivées continues, au moins jusqu'à l'ordre deux. 

 Si nous exigeons que y' {ce) soit une fonction non décroissante, le fait que 

 la suite r„ soit de genre infini équivaut à limj' = oo. 



Les hypothèses qui permettent d'obtenir des évaluations précises sont à 

 deux degrés. 



Hypothèse A : y' simplement non décroissant, ou j"io. 



