SÉANCE DU l3 JUILLET 1908. II9 



Hypothèse supplémentaire A' : sia:, = x+ ■^,, h élanl finimenl grand, 



le rapport-^ le! que ^fe - i)io lend vers i. (^Hypollièse en parti- 



ilier réalisée si ^ tend vers i 



cul 



Hypothèse B, plus précise : si a?, = ^ H- ^> '^ tend vers r . Celte coii- 



dilioii entraîne lim4î = o, mais n'est pas incompatible avec une croissance 



y \ , 



accidentée de y puisque y" peut coïncider avec des tondions ^^ _ j,y > si 

 voisin que a-< a soit de rt, pourvu que les b de ces fonctions tendent vers ■ 



zéro. 



S'il est impossible de trouver une fonction interpolatrice y satisfaisant à 

 l'une ou l'autre de ces hypothèses, on comprend/ entre deux fonctions 7, 

 et y., y satisfaisant. Il est possible de trouver r, et y., touchant y en une 

 infinité de points s'éloignant à i'inlini. 



Dans tout ce qui suit, i sera un nombre positif qui tend vers zéro avec 



:^, et a un nomI)re fixe arbitrairement petit. 



A. 



Maximum de log | F( z)\pour | ; | — e^. — La limite supérieure de ce maxi- 

 mum est 



P,(X):=e^''[£XlogX...log} + «X + (2-i-£)LogY',l. 



Cette formule convient à l'hypothèse A, et, quel que soit l'ordre de crois- 

 sance donné à l'avance d'une suite de zéros, on peut en choisir les modules 

 et les arguments de façon que le produit canonique correspondant surpasse 

 (i — a) P|(Xj, sur une infinité de cercles infiniment grands. 



L'hypothèse B contient toutes les conditions (remplies par les fonctions 

 très régulières) pour que la limite supérieure puisse être déterminée asynip- 

 totiquement d'une façon exacte. On trouve, pour limite supérieure, 



/, Y' Jn I 



n,(X) = ev.sx logx. . .iog;,^«x + (2 + £) e^'. y^^ ^ 7F 



En changeant i en — a dans le second terme, on a une expression qui 

 peut être dépassée pour une infinité de valeurs de x, avec une répartition 

 convenable di's arguments, quelle que soit la suite des modules des zéros, 

 supposée donnée et satisfaisant à l'hypothèse B. 



Valeur de l'exposant de coxveugence : \° Hypothèse A. — P, s'obtient 



