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en définissant /> par 



ACADEMIE DES SCIENCES. 



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œ \o<ix . . . 



3/1-1 ' 



log/,_i.rlog/,.r 



= P^9 



avec o 5 < I . Soit A(x) = — log- -^ — j — '^—- On a y' -+- A'(.v) =- /; + 0. 



Si Logy' est infininieiU petit par rapport à p\ on peut rédiiin' P, ( X) à 

 son premier terme. Sinon, on le réduit à son second, etlon peut déliiiiry; par 

 la condition de surpasser y'— i+ A''(x) et d'être au plus égal au plus grand 



des nombres y' -h A'(.r) et y'-i /(Log^r (h fiuimenl grand et variantar- 



bitrairemenl). D'ailleurs riiypolhèse A fait place à celle plus large qu'il y 

 ail: un entier croissant compris dans ces limites (cf. avec une hypothèse ana- 

 logue de M. 1*. Boutroux daus le genre lini). Ceci paraît établir une déli- 

 mitation entre les diverses fonctions de "cure infini suivant (rue / -, — —-a 



ou non un sens, le second cas donnant des fonctions voisines du genre fini. 



Comme cas se rapprochant de la limite, on a log« =^ r, e'""''"-!'"--, avec 

 p = log« = r, .... 



2." Hypothèse ]i. — L'exposant /j =y'zh £ y^' donne, quelle que soit la 

 façon dont £ tend vers zéro, la même limite supérieure H,. 



Limite inférieure du mariimun. — Ce sera dans tous les cas 



Q.{X)=:' 



Y, 



Limites des zéros influant sur le maximum. — Si / lui-même satisfait à B 

 (dans ce cas, on peut prendre j, =y =y..,), le maximum n'est modifié que 

 d'une cjuantité relative infiniment petite par les variations simultanées d'ar- 



trumenls des zéros tels que — — i ~>-^rr- 



, Fu/H'tions 1res régulières et à croissance ra/iide. — Exemples : l'our des 

 fonctions à croissance très régulière (telles que des combinaisons d'expo- 

 nentielles et de logarithmes), on a r' = y'^^, y = _>'''"■'. Nos formules de- 

 viennent 11, (X ) = (i -f- £)«L2« [à remarquer que P, donne déjà la li- 

 mite (2 -H £ )/; \..n\\ p= y' ( I ± , ^ ); Q..(X) = ( i — i)n X ' ,,°'^' ' 



1^ 

 Ainsi, soit /„ = ( logv«)'^; si e,, est la fonction inverse de log;;, on a 



p = alog/j .. . log;;/; ( I ± p et le module maximum est inférieur à 



