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3. // existe quelques trajectoires particulières stables (') qu'on obtient en 

 prenant a,- = o pour | e'-' | > i . 



4. Lorsqu'il existe un potentiel des vitesses toutes les positions d'équilibre 

 sont instables, car, le tourbillon à l'origine étant nul, les solutions île l'équa- 

 tion déterminante seront réelles et n'auront pas le même signe (on suppose 

 a, b,c, ..., C'z^o). 



Reste à étudier le cas de doute. C'est celui où l'équation déterminante a 

 une racine nulle. Dans ce cas, S = \ ahc ] -h . . . s'annule aussi à l'origine. Il y 

 aura une droite, l'axe des tourbillons, qui, pour les positions d'équilibre, 

 joue un rôle double (^). JNous avons deux cas à distinguer : 



I" S/Zc" — c'b"<^ o. On aura instabilité. L'origine jouera le rôle analogue 

 à un col. 



2° I.b'c" — cb""^ o. Les racines seront imaginaires pures. Nous pouvons, 

 par une transformation linéaire, obtenir un mouvement de la forme 



qui, en tenant compte des termes du premier ordre seulement, nous don- 

 nera encore le mouvement d'un liquide, dont le tourbillon à l'origine sera 

 H = 7) = o, "C = I , mais qui, en tenant compte des termes d'ordre supérieur, 

 peut représenter le mouvement d'un fluide dont la densité peut même 

 s'annuler. 



On peut cliercber s'il y a de petites surfaces holomorphes F jouant le 

 rôle d'un vase enfermant le fluide sur les parois duquel s'écoulent les 

 filets. 



On constate que c"= o est une condition nécessaire de l'existence de ces 

 surfaces fermées et qu'elles auront la forme 



s = ^'+Y'-i-cz--i-F,-\-F,-i-... ; 



c sera déterminé en même temps que F3. Soit c> o. Si l'on peut calculer la 

 suite des F convergente, l'oriafine sera un centre et l'on aura stabilité à la 

 Poincaré et Poisson (^stabilité réversible, trajectoires /er/ne'e^, parcourues 

 périodiquement ) . 



(') Nous considérons la stabilité à la Liapoiinod' ( seulement pour t croissant). 



(-) Pour les racines communes, multiples, à plusieurs équations, voir les Notes 

 de MM. Davidoglou et Tzitïéica {Comptes rendus, 1901) et Picard {Analyse, t. II, 

 1905, p. 2i4).- 



