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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les solutions périodiques d'une équation 

 fonctionnelle linéaire. Note de M. Eu.xest Esclaxgox, transmise par 

 M. Painlevé. 



Dans une précédente Note (') j'ai montré que l'équation fonctionnelle 



(i) 6{x-ir na) -t-Ai9[.r'-i-(/i — i)a] + . . . + A„ 9( j:) = o(x), 



OÙ est la fonction inconnue, A,, ..., A„ des constantes, <p(.57) une fonc- 

 tion de période b incommensurable a^'ec a, admet toujours une solution 

 périodique de période b et une seule lorsque l'équation algébrique 



(2) /■"+ A,r"-' + ...+ A„ = o 



n'admet aucune racine de module égal à l'unité. 



Si l'équation (2) admet une racine p telle que | p | = i , la recherche d'une 

 solution G(.a;) périodique se ramène à celle d'une fonction X(a-) telle que 



}.(.r 4- «) — À(x) = 'M-*')! 



OÙ '\>{x) est une fonction connue de période b. 



Parmi les équations de cette dernière forme, celles où p = ± i jouent un 

 rôle prépondérant et se ramènent d'ailleurs l'une à l'autre. 



Envisageons donc l'équation (-) 



(3) B{x + a)-d{x) = ^{x-), 



dans laquelle on ne fait d'autre hypothèse que la continuité de la fonction 

 donnée cp(a;), supposée périodique de période b. Nous nous bornons d'autre 

 part aux solutions continues. 



Deux cas seidement peuvent se présenter : ou bien toutes les solutions 

 sont bornées, ou bien toutes sont illimitées, puisque deux solutions quel- 

 conques diffèrent seulement d'une fonction de période a. 



Il est intéressant de savoir si, dans le premier cas, il n'existe pas une solu- 

 tion périodique, auquel cas toute solution est de la forme 



g = ii(x)-h ('(a'), 



(') Comptes rendus, 20 janvier 1908. 



(-) Ce problème a été envisagé dans le cas des fonctions analytiques et notamment 

 des fonctions entières. 



