SÉANCE DU 20 JUILLET ipo^^. 181 



Il étant une fonction quelconque de péiiode a, v une fonction déterminée de 

 période b qui a nécessairement pour expression 



, . n (Dix) -+- (n — I ) s ( ,r -+- r/ ■) -H . . . -H œ r j:' + ( « — I ) rt 1 

 r ( JT ) = — 1 1 m — •■ ' '■ 



Je me propose d'établir les deux pro[iosilions suivantes : 



1° S'il existe une solution bornée R(r 1, uniformément continue dans l'in- 

 tervalle — ce à -t- ce, il existe une solution périodique. 



2" Dans tous les cas, lorsque les solutions sont bornées, l'intégrale indéfinie 

 de toute solution 0(.r ) se met sous la forme 



U(x) + V(,r) M- A-a- (/,=consl.), 



U étant une jonction de période a, V une fonction de période b. 



En effet : 1° si R(a') est uniformément continue dans l'intervalle — ce 

 à -I- 00, les fonctions 



''/,(-^)= — : 



sont limitées dans leur ensemble et également continues (' ). D'après un théo- 

 rème de M. Arzela, elles admettent donc au moins une fonction limite 

 continue v(^x). Les fonctions ('„ satisfaisant toutes à l'équation (3), il en est 

 de même de v{x). De plus, v(^x) est périodique et de période b puisque R-(i?) 

 est bornée. ('(■J") a donc nécessairement pour expression 



, , ,. /i cp(.r) H- ( « — 1) o( JT + fl) +■ • .H- œf.r + (« — i)«l 

 ('(x) :=: — Il m — ' '-^ -, 



„ = - n 



ce qui assure l'existence de la limite du second membre de cette formule et 

 montre que les fonctions r„ n'admettent (\vv une fonction limite. 



1° Faisons la seule hypothèse que Il(iJ est bornée. On en conclut que 

 les fonctions 



a)„(x) = a)(jr)-i-(p(j;-l-a) + ...H-9[j:- + (/i — i)a] 

 sont bornées dans leur ensemble. Cette condition exige que 9(j?) ait une 



(') Suivant ujie nolion introduite par Ascoli dans l'élude des eusembies de fonc- 

 tions. 



