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moyenne nulle. Si Ton pose alors 



on peut déterminer C de façon que $(«•), qui est périodique,. ait une 

 moyenne nulle également. Dans ces conditions, les fonctions 



<I>„(a;) = <!>( j:) H- <I>{x 4- o) 4- . . . -1- <I>[x + (/i — i)(7] 



sont bornées également dans leur ensemble, comme on le voit aisément ('). 

 On en conclut immédiatement que les fonctions périodiques 



,, , , <I>iH-«I>,-l-...-t-<I>^ n(i>{x) + (n—i)(^{jc + a)^...-^<i[a;-h(n—!)a] 

 \„(x) = = > 



bornées dans leur ensemble ainsi que leurs dérivées, sont également conti- 

 nues et admettent au moins une fonction limite V. Cette fonction est pério- 

 dique et satisfait à la relation 



V(x-ha) — V(.r)=il>(a;). 



On en conclut que toute solution de Téquation fonctionnelle 



(4) 0(.r + a) — 0(x) = <I»(x) 



est de la forme U{x) + Y(x), U étant une fonction périodique quelconque 

 de période a. 



(') On peut écrire en effet 



<P{œ -h na) = j 'jf{x -h na) dx + Cn, 



les constantes c„ variant avec /; ; par suite, 



^u= i '^n('X)'dx + y^ (y„ = const.); 



mais <!>„ est une fonction périodique à moyenne nulle; on obtient toutes ses valeurs en 

 faisant varier j: de o à 6. 

 Puisque | ©„ | < A, on a 



/ ?« ( -^ ) fZ-f 



<b\, 



et, comme «t^ est à moyenne nulle, il faut que | y„ | < b K ; par suite, | 4» | < 2 6 A. 



