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Les trois relations suivantes, où k est un paramètre arbitraire, 



I 0| Oj 03 A 



''i ''5 '^6 



:0, 



représentent une infinité simple de couples de points de y». 



Un quadruple cyclique et un couple de points de y^ sont toujours sur une 

 même sphère représentée par 



X] ^2 ^3 o 

 P-1 P-1 Pi o 



S4 S, Se . 



Réciproquement, toute sphère ou tout plan mené par un couple coupe en- 

 core y^ suivant un quadruple cyclique. 



Les plans des quadruples cycliques enveloppent une surface cubique 

 réglée R, circonscrite à y,., qui est aussi le lieu des cordes de couples : on 

 trouve, pour l'équation de cette surface, 



La surface R3 a pour droite double la quadrisécante q de y^ ; elle possède 

 encore, outre ses génératrices rectilignes, une droite simple d rencontrant y„ 

 en deux points D, et Do ; ces deux points forment, avec tout couple de y,,, un 

 quadrilatère inscriptible dans un cercle. 



Parmi les cas particuliers de la courbe y„, on peut citer : 1° le lieu du 

 point dont les distances à trois points donnés sont entre elles comme ses 

 distances à trois autres points ; 2" la transformée par rayons vecteurs réci- 

 proques d'une cubique gauche. 



La transformée par rayons vecteurs réciproques de la courbe y,, quand 

 le centre d'inversion se trouve sur la courbe même, est une courbe gauche 

 du cinquième ordre annulant une matrice de six éléments : les éléments 

 d'une ligne sont les premiers membres des équations de trois plans, ceux de 

 l'autre sont les premiers membres des équations de trois sphères. L'étude de 

 celte quinlique parait intéressante et facile, en raison de son analogie avec 

 la cubique gauche d'une part et la courbe y„ d'autre part. 



