SÉANCE DU 3 AOUT 1908. 297 



({u'elles engendrent des surfaces :i:, normales à S le long de ces lignes. Or 

 ceci se traduit par l'égalité 



ou 



(l) Gf/l'H- Ae^< = o, 



en posant 



S(^)' *=S^«---^>'- 



Il faut alors et il suffit que l'équation différenlicUe (i) ait une intégrale 

 générale indépendante de //, ce qui exige 



,, à\ . ôG 



(2) G^ A-T- = o. 



'' ' ôa au 



Cette relation, qui est linéaire et homogène en ^, Tj, ...,/•, doit avoir lieu 

 quelles que soient les valeurs de m, v, t. Elle est de forme classique. Nous 

 allons la discuter. 



Premier cas. — \, fi, ..., rsont proportionnels à des constantes ^„, y]„, ...j/'q- 

 On a alors un mouvement hélicoïdal. La surface (S) doit satisfaire à l'équa- 

 tion 



(3) G— Ao-T— = 0, 



^ ' ()it an 



d'où 



G = A„V, 



V étant une certaine fonction de c, qu'on peut d'ailleurs supposer égale à i, 

 en choisissant convenablement l'argument c. De sorte que le problème 

 se ramène, dans ce cas, à la recherche d'une surface S qui, rapportée à ses 

 lignes de courbure, satisfasse à la relation 



(4) G = A„. 



On doit évidemment avoir aussi la relation obtenue en échangeant a et r; 

 mais la relation (4) suffit à elle seule. Remarquons encore que la rela- 

 tion (3) est la traduction analytique d'un théorème dû à M. Petot et que 

 nous n'énonçons pas, pour abréger. Disons enfin que l'équation (i) devient 



alors 



(' + < = const., 



