344 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



fixe M' de A décrira sur S' une courbe analogue C. En particulier on re- 

 trouve le résultat établi par M. Darl)ou\ (jue /ev deuv points M, et AL décri- 

 vent les déformées de deux parallèles d'un même hyperholoïde. On voit en 

 outre que, dans le cas actuel, il y a une infinité de points dont les vitesses ont 

 des directions fixes. 



Supposons maintenant les vitesses de M, et M^ normales à MjM^. Dans ce 

 cas, A coïncide avec M, NL et le raisonnement précédent est en défaut, l'.n'ec- 

 tivement, M. Darboux a prouvé que le point M,, par exemple, pouvait 

 décrire une courbe arbitraire C,. La courbe C^, sera alors une trajectoire 

 sous un angle constant des lignes de courbure d'une surface canal dont la 

 ligne des centres de courbure serait C,. ( >n dcduil de cette simple remarque 

 que si deux courbes Co et C., sont tangentes en un point et correspondent à 

 une même courbe C,, elles coïncident. Or, si nous revenons au mouvement 

 de tout à l'heure, on voit immédiatement que les courbes C et C sont dans 

 la correspondance actuelle. Je dis qu'f/? déformant la surface réglée (R) en- 

 gendrée par M ^ Mo, on peut amener C, et C.,à être dans la position des courbes 

 C et C En effet, traçons un cercle V tangent en M, à C, et considérons un 

 liyperboloïde de révolution (H,), dont l'axe passe par IVL, dont une généra- 

 trice passe par M, et soit perpendiculaire à la tangente en Mj à C^, et enfin 

 (jui contienne le cercle T. Un raisonnement intuitif montre qu'on peut dé- 

 former à la fois (H, ) et (R) de façon que les deux courbes C, et F viennent 

 coïncider. Or F devient une courbe C, et le point JN'L décrit une courbe C'. 

 En s'appuyant sur la remarque faite plus haut, on en déduit que Cj vient 

 précisément coïncider avec C, car ces deux courbes sont tangentes en Mj. 



On peut voir qu'il y a dans le choix de la surface (H,) plusieurs arbi- 

 traires et en profiler pour que les courbes C et C' proviennent par défor- 

 mation de deux parallèles d'une même surface gauche situés à des distances 

 arbitraires du cercle de gorge. En particulier, ces deux paz'allèles peuvent 

 être confondus avec le cercle de gorge. Alois les courbes C et C sont deux 

 courbes de Bertrand associées et l'on retrouve un résultat de M. Darboux. 



Supposons maintenant que la figure F se compose de plus de deux points. 

 J'énonce simplement les résultats : 



Si l'on a trois points en ligne droite à vitesses obliques, on est dans le cas 

 du premier mouvement étudié. 



Si l'on a trois points en ligne droite à vitesses normales, ils décrivent des 

 courbes provenant par déformation de trois hélices d'un hélicoïde gauche à 

 plan directeur. La droite qui les porte est donc constamment binormale 

 d'une courbe à torsion constante. 



