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Et aloi-s il devient évidcnl sur les équations (38) que le résultat cherché 

 est obtenu. Car, en vertu des relations précédentes, les formules (38) 

 dérivent des formules (35) où l'on aura remplacé les fonctions arbitraires 

 et les fonctions rt, par leurs dérivées, qui satisfont aux mêmes équations et 

 aux mêmes relations diiVérentielles. Il suffira simplement de changer le 

 signe de la constante h^. 



La question que nous nous étions proposée est donc entièrement résolue. 

 11 n'y a plus qu'à interpréter la solution. 



Pour le faire avec simplicité, nous remarquerons que, d'après les for- 

 mules (33), toutes les surfaces qui composent le système général sont à 

 lignes de courbure planes dans les deux systèmes. Eu effet, la première de 

 ces équations, par exemple, ne contenant pas la variable p, représente un 

 plan qui passe par l'intersection des surfaces de paramètres p,, p.- l^^s con- 

 clusions analogues s'étendent aux deux autres équations (33). Ainsi : 



Le sysléme général défini par les formules (33) ou par les siiivanfes (3/|), 

 (35) et (3()) est formé de surfaces à lignes de courbure planes; quelles (pie 

 soient les fonctions arhilrtnres 0, 0,, Oj, il a sa représentation sphérique définie 

 par les formules (19). 



6. Examinons maintenant le cas spécial où les fonctions 0, satisfont aux 

 équations (4<j)- Pour le caractériser, nous nous appuierons sur des formules 

 données par Lamé. Si Wt,, désigne le rayon de courbure principal de la sur- 

 face de paramètre p,- suivant l'arc H^f/p^, on a, d'après Lamé, 



(4i) 



Ici, par exemple, en utilisant les formules (12) et (3G), on trouvera 



(42) 



a' 0" 0\ àW 



«, ' a, «, àp.2 



Cherchons si les lignes de courbure de la surface de paramètre p, qui sont 

 planes, peuvent en outre être circulaires. Il faudra, pour cela, que le rayon 

 de courbure correspondant ne varie pas quand on se déplacera suivant la 



