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et '\i(y) sont deux fonctions entières de y satisfaisant aux identités 



^"^ i 9(j + «-(3')- 9(7) = J.(y + t-i3)- 4/(7). 



L'expression générale de f(x, y) dépend ainsi de la recherche de toutes 

 les fonctions entières satisfaisant aux équations (i). 



On peut toujours trouver une fonction entière G(x,y) satisfaisant aux 

 relations (1), où nous supposerons pour plus de simplicité u=; i, lorsque 

 çp(7) et '!( y) sont deux fonctions entières arbitraires satisfaisant aux iden- 

 tités (2). 



Pour y parvenir, on pose 



F(7) = ^ [&)il>(7 -+- i(3) - w' 9(7 + «P')] 



et Ton forme une fonction entière, convenablement déterminée, qui s'an- 

 nule lorsqu'on y remplace x par l'une quelconque des valeurs données par 

 les relations 



a;=: - -+- mw + nco'-h F( r — wj|3 — «i[3')j 



où m et n prennent toutes les valeurs entières, positives, nés^atives ou nulles. 



De ce résultat on conclut : 1" que dans les équations fonctionnelles (i) 

 on ne peut pas, dans le cas le plus général, en multipliant g^{x, y) par une 

 fonction entière qui ne s'annule pas, faire disparaître cp(j) et <];(j) des expo- 

 sants de e sans compliquer par ailleurs ces exposants ; 2° qu'on peut toujours 

 faire disparaître ces deux fonctions, sans que les exposants de e soient 

 modifiés par ailleurs, en multipliant par une fonction entière qui s'annule. 



Car, 9(7) et '\{y) satisfaisant aux identités (2), il en sera de même de 

 — ?(y)'et — 'Kj)- O" P*^^^ ^^^'^ trouver, d'après ce qui précède, une fonc- 

 tion entière G, (a-, y) pour laquelle on ait 



Gi(a,7-i-2i7r) =:G,(x, 7), 

 Gi{^-Ho., 7-h«i3) =e-?o-)G,(^, 7), 



_,l V -— r 



G,(:c-hw', 7-f-!p') = e '■'■" '■'■G,(^, 7). 



Les produits H, (.r, y) et Yl,{x, y) de g, {x, y) Q\.g^{x, y) par G, (.r, y) 

 satisfont alors aux équations 



,,, , H,(a-4-o), 7-h(,3) =H/,(.r, 7), ', (/,_-^,,2). 



H,.(.r-h(.3', 7 + /;3') = e '" H^.(.r,7) ' 



