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En exprimant que le système des équations (3) et ( 'i ) admet trois solutions 

 ^Ki '^in ^3 jouissant de eettc propriété, on obtient les relations suivantes : 



ÔA , 



Lorsqu'elles sont vérifiées, le système des équations (3) et ( 4 ) est com- 

 plètement intégrable, et, si l'on prend pour 0,, 0,, 0^ trois solutions de ce 

 système pour lesquelles le déterminant o est dillérent de zéro, les for- 

 mules (2) définissent une surface dont les coordonnées satisfont au 

 système (i) ( '). 



Cette proposition est susceptible de nombreuses applications; en voici 

 une des plus intéressantes : 



Soil à déterminer les valeurs de k, p, q, r, p' , q' , /' qui conviennent aux. surfaces 

 réglées. Si les lignes j3 = const. sont les génératrices rectilignes, ^ = o; le système (6) 

 s'intègre aisément et l'on retrouve les résultats obtenus en 1896 par M. Goursat {Bull, 

 de la Soc. math, de France). iJ'aulres conséquences se tirent de celle analyse, parmi 

 lesquelles nous citerons la détermination, par des formules ne renfermant que des 

 quadratures, des surfaces réglées dont les deux branches de la ligne ilecnodale coïn- 

 cident. 



En éliminant k, r ei r' entre les équations (6). on obtient trois relations dilTéren 

 tielles entre/), '/,/>', </' : 



, Oq à /' dp A , dp 



Ce sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que le système (i) soil vérifié 



(') Les surfaces (I) qui correspondent aux divers systèmes de valeurs de 6,, 9^, 5, 

 peuvent être déduites de l'une d'elles au moyen des homographies qui conservent l'ori- 

 gine et le plan de l'infini. Quant aux surfaces ( M) correspondantes, on peut les déduire 

 de l'une d'elles au moyen des homographies qui conservent le plan de l'infini. 



