SÉANCE DU a'i AOUT 1908. 'l 1 5 



par les coordonnées d'une surface courbe. Comme application de ce lliéorème général, 

 clicrchons s'il existe des surfaces pour lesquelles on ahp=^q, // =: r/' . Ces équations 

 et les équations (7) sont compatibles, et l'on trouve 



'Jlog'ij , , t'Iogw 



w 



étant une solution quelconque de l'équation 



(8) -?^=?(« + 3)^'. 



dans laquelle 9 est une fonction arbitraire. 



Le système (fi) donne ensuite k = r —r'^o. Dès lors, pour obtenir les surfaces 

 en question, il faudra intégrer le système 





d(3- ~~ dp 

 (^u'on peut remplacer par le suivant, où C désigne une constante arbitriiire: 



. ^ de 09 ., 



D'après une remarque faite plus linut, il suffira de déterminer trois solutions 5,, O.,-, 

 83 du système des équations (9) et (10), telles que le déterminant d qui leur correspond 

 soit dillerent de zéro. On vérifie ce système en posant 9 z3 '^ (a -|- (3), 'ji satisfaisant 

 à l'équation linéaire 4'"^^ 'f^- l^ous prendrons pour 0, et 62 deux solutions linéaire- 

 ment indépendantes de cette équation. Quant à ô,, on pourra la choisir arbitrairement 

 parmi les solutions de l'équation (9) [ou de l'équation (8)] qui ne sont pas fonctions 

 de a + |3 ; l'équation (10) sera alors vérifiée en ce sens qu'elle définira une fonction ci 

 satisfaisant à l'équation (8). Cette dernière jouit, en elTet, de la propriété caracléris- 



dO dO 

 tique suivante : St une fonction y satisfait, l'expression — "jp JK satisfait égale- 

 ment. 



Pour les surfaces considérées, et pour rcllcu-là seulement, rindicalricc { I) 

 est un cylindre. 



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