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ANALYSE .MATHÉMATIQUE. — Sur les zéros (les inlègrules d' une classe 

 d' équations différenlietles. Note de M. Georges Rémouxdos, Iraiis- 

 mise par M. lùiiile l'irard. 



I . Pour les fonctions à un nombre fini ii debrahchesel, en général, pour 

 toutes les fonctions u ::=/"( ^) définies par une équation de la forme 



(i) A„( c.) + .\, (--)(/+.. .+ A„_, { c) I,"'' + u" -hz'^(z.u) — o. 



les A,(;) désignant des fonctions entières quelconques (elles ne sont pas 

 toutes des polynômes) et 9(^, î/) une fonction quelconque de f<(sans infinis ) 

 et polynôme par rapport à r-, nous avons établi le théorème suivant ( ') : 



L 'équation 



"=--/{ = ) 



admet une infinité de racines pour toute raletir fi nie de u, sauf peut-être 211—1 

 au plus, gui s'appellent exceptionnelles. 



Si, en particulier, nous considérons le cas où 9 (s, u) est égal à une 

 fonction multiforme q («), nous remarquons que les valeurs exceptionnelles 

 de u seront nécessairement des poi/its critiques de la fonction q (u). 



Nous nous proposons de communiquer une extension du théorème ci- 

 dessus indiqué [que nous appellerons théorème (T)| aux intégrales d'une 

 classe très étendue d'équations dilïérentielles d'ordre quelconque et de la 

 forme suivante, 



(■i) A„(5)-f- A, (;)«+... + A„_, (;)(<"-' H- «"+;<,>('/. "', u". .. .,«'"") = o. 



les fonctions A,(;) (dont une, au moins, est transcendante) étant entières 

 et Q(m, u', u", ..., lé'"') désignant un polynôme quelconque par rapport 

 à u, m', f/', . . ., ié"'K 



Considérons une intégrale u = '^(2) de notre équation (2), qui satisfait 



(') Thèse de Doctorat : Sur les zéros d'une classe de fonctions transcendantes. 

 Gaulliiei'-Villais, 1906, et Annales de la Facallé des Sciences de Toulouse, 'i" série, 

 t. VIII. 



