SÉANCE nu 24 AOUT 1908. 417 



aussi à d'aulrcs équations 



,l'=g,{ll), l,"=:g,iu), „"'=g,{l,), ..., «>•"" = i',„(.0, 



Q{ii,n', il" «'"") =r \-(„), 



OÙ les fondions ff,{u),g.,(u), . . . , ^•,„((/), K(m) sont bien déterminées 

 pour chaque intégrale n = a-(3). 



Si la fonction F(") n'existe pas dans tout le plan, désignons par(D) le 

 domaine de l'existence de cette fonction, qui coïncide avec le domaine de 

 l'existence de l'inverse de l'intégrale w = !7(3); appelons aussi valeurs 

 exceptionnelles parfai/es les valeurs de u que rintégrale u = 7(2) ne prend 

 à distance finie que pour :; =: o. 



Cela posé, nous démontrons que les seuls cas qui peuvent se présenter 

 sont les suivants : 



a. Ou bien l'é(juati(>n 



A„(;)-+- A, (;)«+.. ..-t-A„_i(c) «" ' + «"+;;Fl«)r=Q 



n'esl pas irréductible, c'est-à-dire qu'elle ne dclerrriine pas une seule fonc- 

 tion u = '7(3), mais plusieurs distinctes. 



b. Ou bien dans le domaine ÇQ) l'intégrale u = u(z) jouit de la propriété 

 exprimée par le théorème (T) à condition d'exclure les valeurs exceptionnelles 

 non par faites ; autrement dit. le nombre des râleurs exceptionnelles non par- 

 faites du domaine (D) ne saurait dépasser in — \ {l'infini non compris). 



Un au moins de ces faits aura lieu; c'est là une extension aux intégrales 

 d'une classe étendue d'équations différentielles du célèbre théorème de 

 M. Picard. 



Dans l'équation (2 ) la fonction Q(«, m', . . . , f/'"*') peut être aussi trans- 

 cendante par rapport à u, u', . . . , m''"'. 



Dans le cas où F(m) est une fonction multiforme, les valeurs exception- 

 nelles doivent être des points critiques de cette fonction. 



Il est bien entendu que l'extension aux intégrales des équations différen- 

 tielles considérées du théorème des fonctions à un nombre fini de branches 

 est aussi vraie pour toutes ses généralisations. 



Un résultat analogue est obtenu par M. Painlevê pour les intégrales des 

 équations différentielles du premier ordre, algébriques par rapport à u 

 et :•('). Au contraire, les équations de ce travail sont nécessairement trans- 



(') Leçons de Slockholni. p. 233 bis. 284, 335. 



