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Pour aller plus loin, nous observons qu'on peut, dans les équations (7), 

 pernmler les indices 2/1, 2/? — i, an — 2, . . ., /* -I- 2, n -h i qui répondent 

 aux indices des variables dépendantes. Kn efTet nous pourrons remplacer 

 réciproquement tous les indices de la manière suivante. Le premier indice 

 dans les parenibèses prend la place du second elvice versa; puis le premier 

 se remplace réciproquement par le troisième, le premier se met plus loin 

 à la place du quatrième, etc.; on met enfin l'indice n -\- i ainsi que le pre- 

 mier dans les parenibèses l'un à la place de l'autre. ()n voit que nous ne 

 remplaçons que le premier indice. Nous aurons ainsi, outre les ( 7), 



A„+,-,,(2« — I, 2« 3. 2) — A„+,..>(?.« — I, 2/i, .... 3, 1) 



-+- A„+/,3(2« — I, 2/;, ..., 4, 2, i) — . . . 



^'' ' ' — (— l)" + 'A„+,-.„i2«-I. 2« «-hl./i— I 2.1) 



^ ( — I )'+" + ' (2/i — I, 2 /( /i + /h- I, /i -i- / — I 2. l). .... 



enfin 



Aj„,, ( /J 4- <■, 2 /( — I , . . , 2 « 2,1) 



— A2„,2(/i + /, 2/1 — I, . . ., 2« 3, l) 



(9) [ -I- A,„,3(/i +«', 2/( — I, ..., 2/i. . . .4.2,1)—... 



— (— i)"^' A.,„ „(/i + (, 2/1 — 1 2/i n -h I, n — i, . . ., 2, i) 



= (—1 )'■+»-*-'(/» -+- /, 2/i — I, . . ., /i H- i+l, /i +J — I, . . ., 2, l). 



Ainsi, nous obtenons un système de n- équations linéaires (/J), (7), (8), 

 (9) renfermant rr quantités inconnues A „+,.,,, d'où nous pourrons tirer 

 tous les coefficients A dans le cas de n impair. Mais, si le nombre n est 

 pair, alors le système devient indéterminé parce que le déterminant de 

 celui-ci sera égal identiquement à zéro. Par conséquent, tous les coefficients 

 demandés A sont alors des fondions linéaires d'un seul d'entre eux, de 

 A.n,™, par exemple. Ainsi donc, quand n sera pair, on a 



Il — : 



/ J =: I, 2, . . . Il 



(10) A „+,-,;[.=: (5 ,(A2„,„) (/;■ — ] 2', Il 



Après avoir tiré du système (1), (7), (S), (9) toutes les valeurs (10), 

 nous les porterons dans les équations 



(A,„,,),= (A,„,,);. (/• = !, 2, ....n), 



et nous obtiendrons de cette manière un système linéaire d'équations aux 

 dérivées partielles d'une seule fonction A.,„„. 



11 est à propos de remarquer que, lorsque l'équation donnée (i) contient 



