SÉANCE DU 3l AOUT 1908. 459 



un nombre impair des variables à n intégrales- 



X, dx^ + X., rf.rj + ...-+- X2^_, dx^n-x = 0, 



nous appliquons la même méthode en prenant dans (i) X,,, = i et posant 

 enfin après l'intégration finale x.,,^ =■ const. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions périodiques . 

 Note (') de M. P. Cousin, transmise par M. Appell. 



On peut obtenir toute une classe particulière de fonctions méromorphes 

 triplement périodiques au\ périodes (o, aiir), (w, i'^), (w', i^') [ces nota- 

 tions ayant le même sens que dans notre précédente Note (voir Comptes 

 rendus, 17 août i<)o8, p. '^77 )| et qui sont des fonctions rationnelles de e^, 

 les coefficients étant des fonctions de la seule variable x. Trois quel- 

 conques de ces fonctions sont liées par une relation algébrique ; en parti- 

 culier, une telle fonction est liée à ses deux dérivées partielles du premier 

 ordre par une relation algébrique. Nous avons recherché si cette dernière 

 propriété est caractéristique de telles fonctions et nous avons pu démontrer 

 le théorème suivant : 



Si une fonction inéromorphe triplement périodique ( et non quadruplement 

 périodique^ est liée à ses deux dérivées partielles du premier ordre par une rela- 

 tion algébrique, en effectuant sur les variables une substitution linéaire conve- 

 nablement choisie on ramène ladite fonction à une fonction rationnelle de e^, 

 les coefficients étant des fonctions de la seule variable x. 



Soity(a;, y) la fonction satisfaisant aux conditions de cet énoncé. On dé- 

 montre tout d'abord qu'il existe une fonction méromorphe p(a^, y), liée 



kf(x,y) et à -p par une relation algébrique 



(>) 



-(-/•l)-" 



et toile que : i" -r-, est une fonction rationnelle de ç, / et -p; 2" à un sys- 

 tème de valeurs de cp, y et -^ vérifiant la relation (i) ne correspond qu'un 

 système de valeurs de x cl y [abstraction faite des sommes de multiples des 



(') Reçue dans la séance du 24 août 1908. 



C. U., 1908, r Semestre. (T. CXLVII, N« 9.) ^I 



