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et son élément linéaire a pour expression 



(8) '''--- — rx\-w--ë 



R R,j 



ce qui est bien d'accord avec les notions acquises sur l'élément linéaire d'une 

 surface rapportée à deux séries de cercles géodésiques orthogonaux. 



Remarquons une fois pour toutes que, pour faire disparaître toute appa- 

 rence d'imaginarité, il suffirait de remplacer 9, par i(p,. 



Après ces remarques préliminaires, arrivons au problème que nous avons 

 en vue et proposons-nous de déterminer tous les systèmes triples orthogo- 

 naux qui comprennent une famille de cyclides. 



Voici d'abord une méthode à laquelle on pourrait songer. Considérons 

 une surface dont l'équation dépende de N paramètres. Pour obtenir la fa- 

 mille la plus générale formée avec de telles surfaces, il suffit de supposer 

 que ]\ — I de ces paramètres sont fonctions de celui qu'on aura exclu. Cette 

 famille dépendra donc de N — i fonctions d'une seule variable . En exprimant 

 qu'elle satisfait à l'équation aux dérivées partielles du troisième ordre qui 

 caractérise les familles de Lamé, on aura les conditions nécessaires et suffi- 

 s;mtes auxquelles doivent satisfaire les N — i fonctions. Ces conditions, qui 

 contiennent les dérivées premières des fonctions, pourront d'ailleurs être 



incompatibles. 



Cette méthode, qui pourra être d'une application difficile, offre l'avantage 

 de donner des notions précises sur le degré de généralité de la solution. 

 Celte solution, si elle existe, s'obtiendra en intégrant un système d'équa- 

 tions dilTérentielles auxquelles devront satisfaire N — i fonctions d'une seule 



variable. 



Quand on connaît les lignes de courbure de la surface considérée, il existe 

 une autre méthode que j'ai déjà appliquée avec succès dans mon Mémoire 

 sur la théorie des coordonnées curvilignes et des systèmes orthogonaux (Annales 

 de l'École Normale, 1878) et qui conduit rapidement au but dans le cas pré- 

 sent. Voici en substance quelle est celte méthode. On prend les lignes de 

 courbure (C) d'un seul système des surfaces (S) qui composent la famille 

 et l'on exprime qu'on peut grouper ces lignes de courbure de manière à 

 obtenir des surfaces normales aux diverses surfaces (S). D'après la réci- 

 proque du théorème de Dupin que j'ai établie en 1864, les conditions ainsi 

 exprimées sont à la fois nécessaires et suffisantes. 



Je n'entrerai pas ici dans le détail des calculs ; mon Mémoire paraîtra 



