SÉANCE DU l4 SEPTEMBRE 1908. 498 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur la qiiadrique de Lie. 

 Note de M. A. Democlix. 



Conservant toutes les notations de notre Note du 24 août 1908, désignons 

 par (Ma) et (Mp) les asymptotiques a = const. et [îi ^ const. qui se croisent 

 en M, et par t' et / leurs tangentes en ce point. 



Lorsque M décrit (Ma), la tangente /engendre une surface réglée (2). 

 Lorsque M décrit (Mp), la tangente t' engendre une surface réglée (2'). 



Soient II le plan asymptote de (Z) relatif à la génératrice t et d la carac- 

 téristique que ce plan admet lorsque / engendre (2); les droites d et t sont 

 parallèles. Soient H' le plan asymptote de(l' ) relatif à la génératrice t' et d' 

 la caractéristique que ce plan admet lorsque /' engendre (i^); les droites d' 

 et l' sont parallèles. 



La droite m d'intersection des plans II et II' est parallèle au vecteur 

 (^«p» J'â|35 -âp) (' ) et à la normale, en I, à la surface (I). 



La demi-quadrique (Q) osculatrice à (Z) suivant t et la demi-quadrique 

 (Q') osculatrice à (2') suivant l' appartiennent à une même quadrique (L) 

 (Sophus Lie). Les droites d et d' se coupent sur m au centre C de cette 



quadrique. Le segment MC est égal à t, ^ désignant la longueur du vec- 

 teur (a^âf,, jâfi» ^ap)- Si l'on désigne par — P" le produit des carrés des 

 demi-axes de la quadrique de Lie, on peut écrire yP ^ t* 



Les développables de la congruence engendrée par la droite m ont pour 

 équation différentielle rd%- — r'rfp- = o. Si rr' est 7^0, elles découpent 

 sur (M) un réseau conjugué. 



Les foyers $ et $' de la droite m divisent harmoniquement le segment MC 

 et l'on a 



M(I>.M<I)'= ^liiMc', 



si l'on désigne par cr, la distance de l'origine au plan tangent à la surface (I) 

 et par — \\- la courbure totale de cette surface. 



Pour que la quadrique de Lie soit un paraboloïde, il faut et il suffit que 



{') Celte propriété appartient à tous les réseaux. On déduil de là que, si A 

 est 7:^0, les surfaces telles que (i) et (— '), relatives au réseau (a, (3) tracé sur la 

 surface (I), ont pour développables asymptotes des cônes dont les sommets sont à 

 l'origine. La détermination des surfaces qui ont pour indicatrice de leur courbure 

 totale une surface donnée revient à la détermination, sur cette surface, des réseaux 

 ouïssant de la propriété indiquée. 



