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X- soit nulle, c'esl-à-dire que la surface (M) appartienne à h. première classe 



(Darboux, Leçons, IIP Partie, p. :3(J8; IV'' Partie, p. 012). 



Le paraboloïde de Lie n'est de révolution que lorsque l'indicatrice (I) est 

 une surface minima, les courbes du réseau (a, [i) étant luininia. Nous avons 

 étudié, en 1902, dans les Comptes rendus, les surfaces jouissant de cette 

 propriété. 



Les surfaces pour lesquelles l'axe du paraboloïde de Lie a une direction 

 constante possèdent les propriétés caractéristiques suivantes : 1° le pro- 

 duit c \/a est constant, c désignant le cosinus de l'angle que la normale en M 

 fait avec une droite fixe (à laquelle est parallèle l'axe du paraboloïde); 

 2° la courbure totale du paraboloïde en son sommet est constante; 3° sur 

 les surfaces telles que (1) et (S') la ligne flecnodale est tout entière à 

 l'infini. 



Ces surfaces ont été rencontrées par MM. Darboux {Leçons, IIP Partie, 

 p. 273) et Goursat (loc. cit.). On les obtient en posant O, = const., 

 0,^ _ 3, _l_ P^ Q^—y-y _)_ ç,^_ Chacune de leurs asymptotiques appartient par 

 ses tangentes à un complexe linéaire. 



Revenons au cas général et déterminons l'enveloppe delà quadrique (L). 

 Si a varie seul, la quadrique (L) a pour caractéristique la génératrice l', 

 comptée deux fois, et deux génératrices g\, g'., qui coupent /' aux points F,, 

 F!,. Si j3 varie seul, la caractéristique de (L) se compose de la génératrice t, 

 comptée deux fois, et de deux génératrices g,, g., qui coupent t aux points 

 F,, F.. Soient M,, M, les points d'intersection des droites^ ^'i , g'., avec g, 

 et M„ M3 les points d'intersection des mêmes droites avec g.,. Il est clair 

 que l'enveloppe de la quadrique (L) se compose de la surface (M) et des 

 surfaces (M,), (M,), (M3), (M,), lieux des points M,, M„ M,, M,('). On 

 voit, en outre, que les plans des angles du quadrilatère M.MoMjM, 

 touchent leurs enveloppes aux sommets de ces angles. 



Si g., coïncide avec g,, les surfaces (^M^) et (M.,) coïncident respective- 

 ment avec (M,) et (M, ). Lorsque |3 varie seul, les points M, et Mo décrivent 

 des asymptotiques dont les tangentes sont les droites g\ et g',. Dès lors, sur 

 les surfaces (^I, ) et (Mo) qui sont évidemment les focales de la congruence 

 engendrée par la droite g,, les lignes asymptotiques se correspondent. 



Enfin, il existe des surf aces pour lesquelles g., et g'., coïncident respectivement 

 avec g, et «■',. Alors les surfaces (Mo), (M3), (M,) coïncident avec (M,), et 

 l'enveloppe de la quadrique (L) se réduit aux surfaces (M) et (M,). Sur ces 



(') Dans cerlaiiis cas particuliers, quelques-unes de ces surfaces peuvent se réduire 

 à des courbes ou à des points fixes. 



