SÉANCE DU l4 SEPTEMBRE 1908. 49''' 



surfaces, les lignes asymplotiques se correspondent et les tangentes, en M,, 

 aux lignes a = const., ^ = const., sont respectivement les droites g\, g\. 

 On conclut de là que les deux surfaces ont nv'ines quadriques de Lie. 



Le centre C de la quadrique de Lie décrit, en général, une surface. Le 

 plan tangent, en C, à cette surface passe par les milieux T, T' des seg- 

 ments FjF^, F, F!,, et les droites CT, C'T sont respectivement tangentes, 

 en C, aux courbes a = const., ^ = const. 



Pour que les plans tangents en C et en M soient parallèles, il faut et il 

 suffît que le produit des axes de la quadrique de Lie soit constant ou encore 

 que, sur les surfaces (i) et les surfaces (i';, une des branches de la ligne 

 flecnodale soit à l'infini. 



Le point C ne décrit une courbe que dans le cas où la surface (M) est 



réglée. 



Enfin, le point C peut être fixe, à distance finie ou infinie. Le cas où il 

 est à l'infini a été examiné plus haut. S'il est à distance finie, prenons-le 

 comme origine des coordonnées; alors le vecteur (x'^^j, y'^^, ^'jCj) est parallèle 

 au vecteur (a*, y, s) et, en tenant compte de la propriété de l'équation (5) 

 de notre Note du 24 août 1908, on trouve oy'X = const. Réciproquement, 

 si xs\j\ = const., le point C est en O. En ell'et, en vertu de la propriété qui 

 vient d'être invoquée, les vecteurs (a;'^[i, y^ji, s^i^), (a;,y, c-) sont parallèles 

 et, |)ar suite, MC passe par le point O. Ce point étant fixe appartient néces- 

 sairement aux caractéristicjuesc?et(^/'des plans H et II', et, dès lors, le point C 

 coïncide avec le point O. 



M. Tzitzéica a étudié récemment (Comptes rendus, 1907 et 1908) les sur- 

 faces pour lesquelles tn\Jk = const. Je les désignerai par la lettre T. Avec 

 cette notation, les résultats que nous venons d'établir peuvent être formulés 

 comme il suit : Pour qu'une surface soit T, relativement à un point O, it faut 

 et il suffit que ses quadriques de Lie cdentpour centres le point O. Ce théorème 

 s'applique à toutes les surfaces, réglées ou non ; mais, dans le cas des surfaces 

 réglées, il prend cette forme plus simple : Pour qu'une surface réglée soit T, 

 relativement à un point O, il faut et il suffit que ses quadriques osculalrices 

 aient pour centre le point O ('). On déduit immédiatement de là que les 



C) Dans notre Noie du 29 juin 190S, nous a\'>iis établi le lliéoi-ème suivant : Pour 

 que les deux branches de la ti g ne flecnodale d'une surface réglée soient à l'infini, 

 il faut et il sujfit que ses quadriques osculalrices aient même centre. En rappro- 

 chant ce théorème et ie théorème énoncé dans le texte, on obtient la propriété caracté- 

 ristique des surfaces T réglées que M. Tzitzéica a fait connaître dans sa Note du 9 dé- 

 cembre 1907. 



