SÉANCE DU 21 SEPTEMBRE 1908. 323 



même puissance, a disparait complètenieiil de p"""^', tandis que le déter- 

 minant numérateur de p-" se laisse décomposer en deux dont l'un est le dé- 

 terminant dénominateur multiplié par a. 

 De même on déduit les formules suivantes : 



(7) f"[a<ji{x)]^nf-"[o{x)\ p"'+'[r,9(.r)] = ip'''-[9(.r)]. 



En substituant dans (3), à ç,, r : ©, et en multipliant les deux détermi- 

 nants par 9,,, 9,, 9,, ..., 9.„^,, on trouve 



(8) p2«_!_ = [ 



En combinant (6), (7) et (^8) on trouve la formule remarquable 



[7-1-09(0;)] y + '] r/-"[(!f{œ)] 



La différence réciproque d'ordre pair d 'une fonction linéaire fractionnée 

 de 'f{x) est la même fonction linéaire de la différence réciproque de ^(x). 



On peut donc développer ^ — j^ — en fraction continue d'interpolation 



en connaissant seulement les diflerences réciproques de <^{x). 



Pour les différences récipro({ues d'ordre impair il n'existe aucune relation 

 simple correspondante. Les déterminants dénominateurs de celles-ci, au 

 contraire, ont une propriété remarquable que nous allons mettre en évi- 

 dence. En posant, dans le déterminant 



1 1, 9,-, .r„ .r,(p„ xf, )■';, jr'!(Bil 



fi= I :|,, on trouve que celui-ci égale 



Si l'on remplace 9, par a -+- 9,, le déterminant reste invariable, mais si l'on 

 remplace 9, par a 9, celui-ci est multiplié par a"*'. Soit o(xi,Xj) la diffé- 

 rence divisée de Newton (9, — Çy) : (a;, — Xj ), on verra que la quantité 



_ 1 1, ©„ Jc,, jr,9i, 



admet une transformation projeclive 



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