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Faiigle formé \)»v cotte direction /■ avec la iiotinale intérieure. On a évi- 

 demment 



c^ désignaiil la valeur de c en un [joint s de F, et v' la valmir limite extérieure 

 d(> (• en ce point. De là se tire l'éqnation fonctiomielle donnant p; elle peut 

 sY'crirc 



0(H / 0r7-r- cos( /•,«) f/a := fonclion donnée. 



T.Jy' dr 



C'est une équation de Fredholm; on n'est pas dans un cas singulier (' ), 

 et pour sa résolution ell'ective on pourrait utiliser une remarque analogue 

 à celle que nous avons faite dans la note du n" 1. La fonction v{x,y^ que 

 nous venons de tiouver est pour le point ( J', v) s'éloignant indéfuiiment de 

 l'ordre de 



en désignant par U la distance du point (•r,j') à un point fixe du plan, l'ori- 

 gine par exemple; cela résulte de la propriété rappelée plus liant de la fonc- 

 tion «('■). 



Il est maintenant évident que l'expression (G) s'annule à l'infini, de 

 quelque manière que (-t, r) s'éloigne indéfiniment. Nous avons donc trouvé 

 une solution de l'équation initiale, prenant les valeurs données sur F, et 

 s'annulant à l'infini. La façon dont s'annule varie avec la direction suivie 

 par (a;, y) en s'éloignant indéfiniment. Nous nous eu rendons compte très 

 aisément sur cet exemple simple; dans d'autres problèmes de même nature, 

 où figurent des singularités essentielles, on pourra rencontrer, à cet égard, 

 de sérieuses difficultés. 



(') l'dui l'éuiljllr, Il siiflit lie I emai'quer t|iie, dans le cas contraire, on pourrait 

 trouver un poteiUiel (7) de double couche, à densité p non nulle, pour lequel la 

 valeur limite extérieure c' sur la courbe F serait nulle. 11 est clair qu'alors c serait par- 

 tout nul à lextérieur. Donc, à cause de la continuité des dérivées normales pour le 

 passage par la courbe, on aurait sur la courbe l" pour l'intérieur 



d^ _ 

 dii 



Or, une intégrale de (5), définie à rintéiieur de F, et pour lai|uelle celle condition 

 est vérifiée, est identiquement nulle. Les limilei iiUéricuie et extérieure de f sur la 

 courbe F étant nulles, la densité est nécessairement éyale à zéro, ce qui est contra- 

 dictoire a\ec riivpolliése faite. 



