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Le lliéorème de Lie csl dès lors démontré et Ion obtient, en ontre, l'équa- 

 tion de la qnadri([iie de Lie sous une forme remarquablement simple. 



Nous avons formé aussi Téquation de la quadrique de Lie en la rappor- 

 tant au trièdre dont les arêtes sont les tangentes Ma?, My aux lignes de 

 courbure c = const., u = const. qui se croisent en M, et la normale M:; en 

 ce point. Dans leg formules qui vont suivre, nous conserverons toutes les 

 notations de M. Darboux (Leçons, ]V Partie). 



L'équation générale des quadriques (jui renferment les lang;entes / et t' 

 est 



(2) X- %\n-r,i — y- cos-'o -h a :■- -h 2 b.rz -h icyz -+- 2 ch ^o. 



Si l'on pose 



I 6)RR' I JRR' , RR' 



b = 



4(R — R') A6/« 4(R — R'jCtyc P, — R 



et qu'on laisser arbitraire, l'équation (2) délinit une infinité simple de (jua- 

 driques qui se raccordent aux surfaces (1) et (S') suivant les génératrices t 

 et /'. Leurs centres sont distribués sur la droite 



j:'sin-(.j rcos'cj 



Parmi ces quadriques se trouve la quadrique de Lie; elle correspond à 

 la valeur suivante de a (') : 



a : 



sV,) ~ 2 ( R — R' ) L\R "^ IV 



sin'o) cos-f.) 2(n — K ) | \n H / ysm-ro cos-ro 



1 1) I h 



C0S6) (_. dl' \COS&)/ J 



siii i,i A On Yiîiii fji^ 

 Si l'on a[)plique au tli(''(iréme de Lie la transformation de Lie, cpii cliange 



(') Des valeurs tle h et tie c-, on déduit ces lliéoit'iiies : 



Pour que le centre de la quadrique de Lie relative à un point quelconque M d'une 

 surface soit situé dans un plan principal, le plan a^Ms, par exemple, il faut et il 

 suffit que les lignes d'égale courbure totale soient les lignes « = const.; alors la 

 quadrique est symétrique par rapport au plan x M z. 



Pour que la quadrique de Lie relative à un point quelconque M d' une surface 

 admette ce point comme somniet, il faut et il suffit que la courbure totale de 

 cette surface soit constante : alors In quailriiiue csl symétrique par rapport aux 

 plans xMz^ /M;. 



