SÉANCE DU 2<S skptemiîrp: 190.S. jG-j 



les (li-oilcs rii sphères, on olitleni de nouvelles jir-o|>i'ii''l<''S des snrf;ices; nons 

 allons les exposer ainsi ([ue d'anli'es qui nr iisultenl pas dudit ihéorèrne. 



Soient, en un point M d'une surface (M) rapportée au réseau (11, t') de 

 ses lionnes de courbure, C et C les centres de courbure principaux, C corres- 

 pondant à la ligne de courbure (M,,) et C à la ligne de courbure (M„) ( ' ). 

 Si M décrit (M,,), C décrit une courbe (C[.) dont la tangente coupe la tan- 

 gente à (M,,) au centre de courbure géodésique r-i'dc(M„). Si M décrit (M„), 

 (] décrit une courbe (C„) dont la tangente rencontre la tangente à (M,,) au 

 centre de courbure géodésique G de (M.,). Soient to et to' les plans oseula- 

 teurs des courbes (C„) et C^) '"^'^ points (1 et C', et r/ leur droite d'inter- 

 section. Ces plans sont rectangulaires et les tangentes en ( r et (r' au,r courbes 

 (G„) et {Ci\,) sont respectivement situées clans les plans m et co' et perpendicu- 

 laires aux plans <a' et w. Il existe, dans le plan w, une conique (F) synK'- 

 trique par rapport à r/, passant par le point (J et admettant, en ce point, 

 même centre de courbuic ipie (C„), et, dans le plan to', une conique (F) 

 symétrique {)ar rapport à d^ passant par le point C et admettant, en ce 

 point, même centre de courbure que (C[,). Les coniipies ( T) et (F) sont 

 focales l'une de Vautre. 



Ces propriétés appartiennent à toutes les Surfaces, sauf aux suivantes, pour 

 lesquelles les plans o) et o)' sont indéterminés ou confondus : 1° les surfaces 

 de Monge, dont les lignes de courbure d'un système seul des géodésiques; 

 2" les surfaces dévcloppables; l" les s[ihères et les plans; 4" les surfaces 

 réglées à génératrices rectilignes isotropes. Toutefois, pour les surfaces de 

 Monge, on peut énoncer ce théorème, limite du précédent : Si les lignes (M^) 

 sont des géodésic/ues, la ligne (C„) est une droite (T) qui coïncide avec l'axe 

 du cercle osculateur (F' ) de la ligne (C,, ). 



. Dans le cas' général, il existe une cyclide de Dupin dont les normales 

 s'appuient sur (D et (F) et qui touche en M la surface (M) (-'). Les droites 

 par lesquelles [tassent les plans de ses lignes de courbure sont les tangentes en 

 G et G' aux lignes (G„) et (G;,). Cette cyclide est conservée dans l'imersion. 



Une congrueuce quelcon({uc étant donnée, il est clair qu'en général on 

 peut attacher à toute droite a de cette congruence deux coniques (r)et(F) 



(') D'une inanièie générale, si les cooidonnées d'un point P sont fonctions de deux 

 paramèties ti et e, nous désignons par (l^„) et (1'.) les courbes de paramètres 11 et e 

 décrites pai' ce point. 



(^) Dans le cas des surfaces de Monge, les coni(|ues (T) et (T') se réduisent à la 

 droite ( l") et au cercle (r')i t^l '•■ cyclide se réduit à un tore de révolution. 



