SÉANCE DU 12 OCTOBRE I908. 621 



réduisent à une même constante et que par suite on peut poser 



Les n- fonctions U^ = X^. sont alors complètement délcrminées. On 

 trouve aisément 



Il est alors possible d'intégrer les équations 



cU',— II, X', rfp, -f IIjX'j dp, + . . . -h H^.Xi- f/p/, -t- 



Comme on a 



,, V I «^ X| + X; + ...4-X„ 



il viendra 



X,4-X,H-...H-X„ 



La fonction E,(p, ) est déterminée par la quadrature 



Mais nous pouvons encore faire disparaître tout signe de quadrature en 

 substituant aux fonctions arbitraires i|^, les fonctions ?,. La solution se 

 présente alors sous la forme 



(^.-g,);; _ {x,-h)'z'; _ _ i^n-DE, _ Xi + x,+... + x„ 

 X', - x; x'„ ^ 



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im 



C'est la généralisation du système triple ortbogonal que nous avions 

 obtenu dans notre Thèse et qui avait d'ailleurs été obtenu précédemment 

 par M. Darboux. C'est le système le plus général pour lequel toutes les 

 lignes de courbure sont planes. 



Reprenons l'étude des systèmes conjugués. Les fonctions [ï^ que nous 

 avons déterminées satisfont aussi aux conditions 



P« _ ^ Xi — F'' 

 p,v z, y; 



Donc, dans le cas où il y a plus de trois variables, si tous les indices i sont 

 de la première classe, ils sont aussi de la seconde classe. La réciproque est 

 d'ailleurs vraie. Dans ce cas, les problèmes I et 2 se confondent. 



