();() ACADEMIE DES SCIENCES. 



La droile g a le poinl G eu commun avec le plan co ; or elle est parallèle 

 à ce pian comme étant perpendiculaire à w' ; donc g est dans o). De même, 

 g' est dans co'. 



En réunissant tous ces résultats, on obtient la première partie du théorème : 



Les plans w et w' sont rectangulaires, et les tangentes aux courbes (G„) 

 et (G[,) sont respectivement situées dans les plans oj et cd' et perpendiculaires 

 aux plans co' cl co. 



Par la droite CG, menons un plan cjuelconque t: et, par la droite C'G', 

 un plan -n' perpendiculaire au premier. Désignons par i l'intersection de 

 ces deux plans. Soient (F) la trace sur - du cône isotrope de sommet C 

 et (F') la trace sur tï' du cône isotrope de sommet C. Il existe, dans t:, une 

 conic[ue (Iv) tang'ente en G à CG, symétrique par rapport à «et bitangente 

 au cercle (F), et, dans rJ , une conique (K') tangente en C' à C'G', symé- 

 Irique par rapport à i et bitangente au cercle (F'). Les coniques (K) et (K') 

 sont focales l' une de l' autre . Déterminons en effet la focale de (^\s^) qui est 

 située dans le plan rJ . Cette conique, que nous désignerons par ( K"), admet i 

 comme axe de symétrie, est bitangente à (F' ) et passe par C Soit C'T' sa 

 tangente en ce point. En vertu d'une propriété des coniques focales, les 

 plans CC'T' et C'CG sont rectangulaires ; or les plans CC'G' et C'CG sont 

 également rectangulaires ; doncles plans CC'T' et CC'G' coïncident, et il 

 en est de même de leurs intersections C'T' et C'G' avec le plan ti'. La 

 conique (K") est dès lors définie par les mêmes éléments que la conique (K') 

 et coïncide par suite avec elle. Les coniques (K) et (K.') sont donc bien 

 focales lune de l'autre. 



Complétons à présent les notations de notre précédente Note. Soient Ma?, 

 Mj les tangentes aux lignes de courbure (M,,), (M„), et M:; la normale à la 

 surface (M). Désignons par (C) et (C) les nappes de la développée de (M) 

 décrites par les points C et (.'/. Soient CN etC'N'les perpendiculaires à Ms 

 respectivement situées dans les plans xMz et jMz. Ces droites coupent 

 respectivement C'G' et CG en des points A et A' dont les projections sur 

 le plan x^\y seront désignées par B et B'. 



Soit (-)la cyclidc de Dupin dont les normales s'appuient sur (K) et(K') 

 et qui touche en M la surface (M). Pour cette cyclide comme pour la sur- 

 face (M), les droites CG, C'G' sont les axes de courbure des lignes de cour- 

 bure qui passent par M. Désignons par (K^,) et (K^) les projections des 

 coniques (K) et (Tv') sur le plaUirMy. Ces couches constituent les contours 

 apparents des deux nappes de la développée de la cyclide (1) projetées sur 



