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Et d'autre part, d'après ce qu'on a vu plus haut, le centre de courbure en M 

 de la projection de la conique (K,,) est également le point B. 



Les courbes (C„) et (K„) ayant en G même centre de courbure que la 

 courbe (P) ont même centre de courbure en ce point. On démontrera de 

 même que les courbes (C,, ) et (K'„) ont même centre de courbure en C. 



Il est clair maintenant que les coniques (K„) et (KJ ) coïncident respectivement avec 

 les coniques (f) et (F'). Comme elles sont focales l'une de l'autre, la seconde partie 

 du théorème est démontrée. 



Tous les résulials précédents sont confirmés par le calcul; faute de place, nous ne 

 pouvons le montrer ici. Toutefois, nous définirons analytiquement les directions des 

 plans oj et oi'. Si l'on prend comme trièdre de référence mobile le trièdre llxyz el 

 qu'on conserve toutes les notations de M. Darboux {Leçons, II" Partie), on trouve que 

 les normales à ces plans ont pour paramètres directeurs 



()r\ âr, 



^ . „ , .,;•/■] du ai' ,, 



Dans ces expressions ne ligurent que les quatre quantités —, — , , — - ; celles-ci 



' <J Pi ÇPi IPi 



s'expriment comme il suit en fonction des rayons de courbure principaux R, R' et de 



leurs dérivées par rapport aux arcs des lignes de courbure : 



(0 



On voit que les directions des plans w et co' dépendent des éléments du quatrième 

 ordre de la surface (M). 



L'orthogonalité de ces plans résulte de la formule de Codazzi 



dr . di\ 



En remplaçant dans cette formule-;- et -— parleurs valeurs tirées des relations (i), 

 *^ • ai' du '■ ^ " 



on obtient une propriété générale des surfaces. 



