SÉANCE DU 2 NOVEMBRE 1908. 788 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la valeur de l'invariant p pour une classe 

 de surfaces algébriques. Noie de M. L. Uemy, présentée par M. Emile 

 Picard. 



Cette Note a pour objet la dêterminalion de l'invariant relatif p de 

 M. Pirard (' ) pour les surfaces S dont les points admettent une correspon- 

 dance univo([uc, sans point fondamental ni courbe exceptionnelle, avec les 

 couples de points (a?, 7), {x\ y' ) d'une courbe algébrique C, d'équation 



Considérons sur la surface S les deux courbes particulières .J et L„ qui 

 correspondent, la première aux couples de C formés de deux points 

 confondus, et la seconde aux couples formés d'un point variable et d'un 

 point fixe (xa, jo), et montrons d'abord (pi'il ne saurait exister d'intégrale 

 de différentielle totale de la forme 



ayant seulement J et L^ pour courbes logarithmiques. 



Les périodes de Fintégrale / K dx ne doivent pas dépendre du para- 

 mètre a?'; en particulier, le résidu relatif au point logarithmique {x ^ ce' , 

 y=^y'^ est une constante cpi'on peut supposer égale à -H i. Ceci posé, envi- 

 sageons la surface de Pùemanu qui çorrr?,pond à l'équation algébrique 

 J\x,y) = o, supposé de genre/) (non nul) : on sait qu'on peut faire en sorte 

 que les deux premiers feuillets de cette surface soient réunis par (p-hi) 



lignes de croisement ««', bl/ , Traçons sur le premier feuillet un cycle y 



enveloppant les deux points de ramification a et a', et donnons au point 

 (x',y') une position voisine du point a, mais extérieure au cycle y. Si l'on 

 fait tourner le point (x',y') autour du point /; sans rencontrer le cycle y, le 

 paramètre y prend une autre détermination v", sans que d'ailleurs le cycle y 

 soit altéré ; on en conclut, en désignant respectivement par w' et w" les 



valeurs de l'intégrale / Rdx pour les déterminations y et j" du paramètre, 



(') Théorie des fonctions algébriques de deux variables, t. II, cliap. l.V. 



