784 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Si d'autre pari on fait tourner le point {.r-', y') autour du point a, v' se 

 change de même en y", mais le cycle y se déforme, fuyant en quelque sorte 

 devant le point (.r, y'), et prend une position y'; de là on déduit aisément 

 la relation 



Dès lors l'intégrale dont nous avions admis l'existence ne saurait exister. 



Eu second lieu, considérons une courbe irréductible quelconque F de la 

 surface S : elle définit une correspondance algébrique entre les points (.v, y) 

 et {-r, y' ) de la courbe fondamentale C. <-)n doit à Hiirwitz une étude de 

 ces correspondances (') dans laquelle est établi le résultat suivant, qui est 

 fondaniciilal pour notre objet: « Étant donnée une correspondance quel- 

 conque entre les points (-r, ,v) et (.v',y'), on peut former une fonction ra- 

 tionnelle 1' (t, y; x'jY') qui n'admette comme lignes de zéros ou d'infinis, 

 en dehors de la correspondance considérée, que la correspondance .t = x\ 

 y=y\ ainsi que les correspondances associant respectivement à un point 

 variable certains points fixes (a?,, j,), . . ., (.r^, yu)- » Ce résultat suppose 

 toutefois que la courbe /(,r, y) = o n'est pas une courbe singulière. 



Il résulte du théorème précédent que l'expression 



I = LogP(x, /; x\ y') -+■ I>ogP(,r', /; x, y) 



est une intégrale de différentielle totale de la surface S ayant pour courbes 

 logarithmicjues les courbes F, J, L,, ..., \-.k- D'autre part, si l'on désigne 



par /Gu/(.r, y) dx l'intégrale normale de troisième espèce attachée à la 



courbe C et relative aux points (£r„, y^) et (r,, y,), il est manifeste que 

 l'intégrale 



I„, = fG,u{x. y)dx+- G,„(.r', y')d.r' 



a pour courbes logarithmiques Lo et L,. Dès lors il est possible de former 

 une combinaison linéaire des intégrales I et !„,, ..., I„j. qui n'admette pas, 

 en dehors de F, d'autres courbes logarillnin(pi('s (pic les courbes .1 l't L„. 



D'où cette conclusion : L' invariant relatif p est égal à deux pour les sur- 

 fares dont les points admettent une correspondance univoque, sans point 

 fondamental ni courbe exceptionnelle, ai-ec tes couples de points d'une courbe 

 algébrique non singulière, et non unicursale. 



(') Mathematische Annalen, t. XXVIII, p. 56r. 



