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face S. Soient a, p, y les cosinus directeurs de la normale à S en un point 1\I 

 de C, de coordonnées x, y, z. Les six quantités a-, r, z, a, j3, y ne doivent 

 dépendre que d'un seul paramètre w, indépendant de v. Écrivons que 

 (a, p, y) est normale à S ; il vient 



(r) la + Yi(3 + Çy -^/'(yj — (3-) + 7(aj — y.r) -h r{l^j: — ay)-=o, 



équation de forme classique, que nous allons discuter. 

 Premier cas : 



OÙ X(, est une certaine fonction de i' et ^^, y]„, . . ., /■„ sont des constantes. 

 On a un rnouvemenl hélicoïdal &\. la solution est évidente. 



Deuxième cas : 



£ = /.oto+ )vi|i, -n^=^'^-o'fia + '>\'ni, •■., /• = /.„/•(, + >.,/■,. 



On a «/i mouvement G, du moins dans le cas général. L'équation (i) donne 

 alors 



S J(,o! =: o, Si, a = o, 



ce qui se traduit de la façon suivante : 



Théorème. — Soit un mouvement G de directrices 1 et 1' . Soit II une sur- 

 face réglée dont les génératrices s'appuient sur \ et A'. Soit C une trajectoire 

 orthogonale de ces génératrices. Dans le mouvement G, lu courbe C engendre 

 une surface dont les normales le long de C sont les génératrices de R. 



Troisième cas : 



ç=:XoÇ„+X,£, + ).,;% 



Le mouvement est un nouveau mouvement que j'étudierai plus tard. Il 

 dépend de deux fonctions arbitraires'dune variable et est en quelque sorte 

 une généralisation des mouvements G. Dans ce cas, la courbe C doit être 

 une trajectoire orthogonale des génératrices d'un système d'une certaine qua- 

 drique. (Ici encore, je laisse de côté les cas particuliers.) 



Quatrième cas et suivants. — Ils ne donnent plus que les surfaces-canaux 

 et les surfaces réglées à paramètre de distribution constant. 



Applications. — On obtient des cas particuliers du problème précédent 

 dans les questions suivantes : 



■ Problème. — Trouver les surfaces qui admettent une famille de cercles geo- 

 désiques égaux et de même courbure géodésique. 



