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intéfj;Tales de ces oqiialions, que les fondions fuclisiennes el des coniljinai- 

 sons de leurs dégénérescences ('). 



Supposons l'(y) et c(y) exprimés par des fonctions rationnelles i,(y, ;:) 

 et c, ( y, z) de y et d'une nouvelle variable z définie par la relation algé- 

 brique 



(2) 



/(j,--) = o. 



On sait choisir cette relation de telle sorte que l'uniforniité de y entraîne 

 celle de z. Le point analyticfue (y, z-) étant une fonction uniforme de .x, 

 tout autre point (y,,z,) qui se déduit birationncUernent du premier est, 

 aussi, une fonction uiiifoiine de x et satisfait à une équation de la même 

 forme que (i) où l'entier n a conservé la même valeur. Il suffira donc d'étu- 

 dier une seule équation de la classe à laquelle appartient (2). Je démontre 

 alors la proposition suivante : Si l'on a /< = — 2, le coefficient ^( v) doit 

 être nul; le genre/? de (2 ) peut être quelconque et quand l'intégrale de (i) 

 est uniforme, c'est une fonclionf uchsienjie (ou kleinéenne) de genre p. Si 11 

 est diffirenl de — -i^ p ne peut dépasser l'imité. Considérons d'abord le cas 

 où p = i- 



Soient 



"== / '■(;■•. -■)dY 



l'intégrale de première espèce attachée à (2) et co une de ses jjériodes. 

 L'équation ( i) doit être de la forme 



(3) 



\r' et /■" désignant les dérivées de r par rapport à y, prises en tenant compte 



de (2)1. La constante k doit être égale à o ou à ^^^- ()uant à a, c'est un 



entier positif dont le maximum est 4 pour « = 1, o pour « = 2, 2 pour 

 n = '5, 5, 00, qui est égal à l'unité pour toute antre valeur de n. Enfin, dans 



le cas II ^ 5, a := 2, -^ doit être une période. J^intégration de ces équations 



(') Bull. Soc. inalh., l. XWIII; Acla inath...l- XXV. lyctude des équations (i) 

 se présente comme un prolilème préliminaire clans l'étude des équations du troisième 

 ordre à intégrale uniforme. 



