SÉANCE DU iG NOVEMBRE 1908. 91; 



est donnée par les formules suivantes : 



(4) .r = 9(:^-'ogO'' 



/' dt 

 — (si /.■ 7^ o) ; 

 [x + Gt^f^' 



(6) . v = o[(A.r+B)"+'-t-C] (si/,- = o). 



9(w) est la l'onclion elliptique définie par l'inversion de «; A, B, C sont les 

 constantes d'intégration. Toutes ces équations se ramènent d'ailleurs à celles 

 qu'on obtient pour n = i. Soit, en effet, v l'intégrale d'une équation (3) 

 (où Ton a « ^ 1); il existe une transformation Y = F(r, j', r"), où F ren- 

 ferme nécessairement y' ou r", et telle que Y satisfait à une équation (3) 

 linéaire en y"- 



Si/) = o. les équations cherchées se déduisent immédiatement des équa- 

 tions à coefficients rationnels par la transformation 



(7) .r = p(Y), 3^^(Y), 



où p et cr sont ralionnellesen Y, et où Y satisfait à une équation à coefficients 

 rationnels. Nous sommes ainsi ramenés au problème qui fait l'oljjet de ma 

 Note précédente. Mais les équations qu'on rencontre se laissent classer 

 maintenant d'une façon plus précise. 



Un premier groupe de ces équations est formé par certaines des équations 

 précédentes attacliées à des relations (2) de genre un; en effet, dans l'un des 

 cas suivants : a = 4, « = i ; se = 3, n = 2 ; a = 2, « = ao; a = i , // = — 2, 

 ainsi que pour k = o, on peut choisir la relation (2) de telle sorte que la va- 

 riable s ne ligure pas dans les coefficients de l'équation (3), qui est alors 

 rationnelle en y. 



Un second groupe d'équations (i) à coefficients rationnels se déduit encore 

 de l'étude du cas oùyj = i : il suffit de faire dégénérer la relation (2) en une 

 relation rationnelle et d'effectuer la transformation (7V Toute équation (3) 

 donnera ainsi naissance à une équation à coe/Jicients rationnels. Si 1 on part 



d'une équation (3) avec /• =y^ o (ce qui exige (jue l'expression r(Y,z)dy 



admette une période après la dégénérescence j, la fonction j définie par (/() 



est rationnelle en t;\a simplifiée qu'elle vérifie se ramène donc à celle qui 

 est intégrée par la fonction t(x) de (5). On retrouve ainsi les équations 

 rencontrées dans ma Note précédente pour les valeurs remarquables de n : 

 en totalité, pour n = 3, 5, :«; en partie, pour n = i, 2. 



