SÉANCE DU 23 NOVEMBRE igo8. Ç)55 



[X feuillets de la surface de Riemann correspondant à l'équation (2) relatifs 

 à ces valeurs, et la position de chacun des [j.( a — i ) points critiques voisins 

 de a dépendra d'une manière holoinorplic de v autour de v = b. Sur chacun 

 de ces feuillets on peut tracer des contours fermés 



C|. Co, .... Cjj. 



comprenant à leur intérieur les points critiques. En désignant par O,, il.,, 

 Q;(, . . ., 0(ji les valeurs de l le long de ces cycles, on a évidemment 



Ceci posé, envisageons une période quelconque P de l'intégrale f. Dans 

 le cas où le cycle correspondant est tout entier en dehors des feuillets pré- 

 cédents, et dans le cas où il est entièrement situé dans ces feuillets, la pé- 

 riode sera fonction holoniorphe de y autour de b. S'il en est autrement, 

 ce cycle entrera par exemple dans la portion S de la surface de Riemann 

 •limitée parC,, Cj, ..., C^, en traversant (1, en un point Yi, et il en sortira 

 en traversant C^ en nn point y.,. 



(Jr, faisons maintenant tourner j autour de b, et demandons-nous ce que 

 devient la période P considérée en dernier lieu. On peut approximativement 

 concevoir <p)e l'ensemble de la portion S tourne d'un bloc autour de a, et 

 il en résulte aisément que P se transforme en 



puisque la portion du cycle entre C, et C, revient à sa position du début 

 et que, à partir d'une position quelconque, Yi et y.^ doivent parcourir C, 

 et Co dans des sens contraires pour revenir à leurs positions initiales. 



Il y a u. — I différences du type Q, — îî,; nous en concluons que toute 

 période j' se transforme en P augmentée d'une somme de multiples de u. — r 

 périodes particulières U, , U^, . . ., U(i_, qu'on démontre être indépendantes. 

 En se reportant alors à la démonstration, fort longue d'ailleurs, qui nous 

 a donné la formule (1), on voit que, dans l'expression de :„, la part d'un 

 point multiple isolé d'ordre [j. sera 



p. — I , 

 el nous pouvons alors écrire la formule que f ai en vue : 



,o„= N + l(iJ. — I) — Ap — {m — i) -1- 21- — (p — i), 



où la sommations s'étend aux difl'érents points multiples isolés de la surface, 

 \L représentant leur degré de multiplicité. 



