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pondances entre deux points d'une même courbe algébrique, .et je suis par- 

 venu à la conclusion suivante, dans le cas où la courbe C n'est pas une 

 courbe singulière : Toute courbe aU^èhrique de la surface S peut être repré- 

 sentée par une équation de la forme 



la fonction &(u, i>, »■) restant toujours finie et vérifiant les équations fonc- 

 tionnelles d'u/ie fonction thêta sous la condition 'è(u, c, m^) = o, et, d'autre 

 part, ne s annulant pas sur la surface en dehors de la courbe considérée, si 

 ce n'est peut -être le long de rime ou l'autre de deux courbes déterminées. A 

 ce point de vue, il existe une diflérencc essentielle entre les surfaces. S et 

 les surfaces liyperelliptiqucs, car il est impossible de représenter indivi- 

 duellement cliaque courbe algébrique d'une surface S par une équation de 

 la forme 



0((/, r, »■) =; o, 



la fonction ne s'annulant pas sur la surface en debors de cette courbe. 



Le nombre po des intégrales doubles distinctes de seconde espèce des 

 surfaces S peut être déterminé à l'aide de la formule fondamentale de 

 M. Picarde ) 



p„ = l\' 4- rf —/)/) — ( w - I ) + 2 /■ — ( p — I )• 



A cet elïel, envisageons la surface définie en coordonnées homogènes par 

 les équations 



j-,i=0,((/, c, ir) (« = I, 2, 3, 4), 



&((/, f, (V) = o, 



où les fonctions 0, sont quatre fonctions ihcta normales de caractéristique 

 nulle et d'ordre A, qu'on suppose ne s'annuler à la fois pour aucun système 

 de valeurs des arguments. L'invariant relatif p est égal à ^e«^ pour une telle 

 surface, en vertu d'un théorème que j'ai établi dans une précédente Note (-). 

 D'autre part, la représentation paramétrique de la surface permet de déter- 

 miner assez simplement les autres éléments de la formule : 



(') T/iéorie des fonctions algébriques de deux variables, t. II, Chap. XII. 

 (-) Comptes rendus, 2 no\embre igo8. 



