SÉANCE DU 3o NOVEMBRE I908. loS; 



foyers des congruences formées par les tangentes MP,, MPo, M'P,, M 1\, 

 et distincts de M et M . On trouve que T,, T, et F, d'un coté, T.,, Tl, F^ 

 de l'autre, sont en ligne droite. 



Maintenant, d'après une généralisai ion donnée par M. Darboux(l. J\, 

 p. 34) à un théorème de M. Ko^uigs sur les réseaux plans à invariants 

 égaux, théorème auquel on peut donner une démonstration purement pro- 

 jective, il existe une conique F tangente en T, et T, à MT, et MT^, et ayant 

 en ces points trois points communs avec les courbes décrites par T, etT^, et 

 correspondant aux cour) >es du réseau ( M ) . 1 1 existe pareillement une conique F' 

 tangente enT', et T., à M'T', et MT,, et ayant aussi trois points communs 

 avec les courbes décrites par T, et T!,. J'iii démontré que ces deux coniques, 

 situéesdanslesplans langentscnMetM auxsurfacesS et S', ont deux points 

 communs sur la droite P, P.,. Il en résulte que par F et F' on peut mener un 

 faisceau de quadriques, qui déterminent sur MM' une involution. Les points 

 doubles de cette involution sont les foyers F, et Fo. Les surfaces du faisceau 

 tangentes en F, et Fj à la droite MM' sont les deux cônes C, et C, du fais- 

 ceau. Le cône C, est tangent au plan focal MM'P, le long de la droite 

 F,T,T'| et a par conséquent son sommet S, sur cette droite. De même C3 

 est tangent au plan MM P. et a son sommet S^ sur la droite FjToT],. La 

 droite S, Sj est l'intersection des plans tangents communs à toutes les qua- 

 driques du faisceau et menés aux points d'intersection de F et F'. Enfin 

 remarquons que, aux réseaux (M) et(M ), correspondent les deux réseaux fo- 

 caux(F,)et (Fj). Les tangentes enF, aux deux courbes du réseau (F,) sont 

 MF, M' et F, T, T', . Cette dernière droite engendre une congruence dont les 

 foyers sont F, et le sommet S, du cône C,. On trouve de même que Sj 

 est le second foyer de la tangente FjT^T!. du réseau (Fj). 



2. Je considère maintenant certains réseaux à invariants égaux de nature 

 toute spéciale, à savoir ceux qui se reproduisent après un certain nomljre i 

 de transformations de Laplace. 



On constate facilement qu'on ne peut avoir de tels réseaux qu'à partir 

 de i = 3 . 



Pour i — 3, on trouve que le réseau doit être plan et que, en choisissant 

 convenablement le facteur arbitraire des coordonnées homogènes, ces coor- 

 données vérifient un système de la forme 



Ou- du dr âiiav av- du dv 



Si l'on se rapporte à un résultat que j'ai obtenu antérieurement (^Co??2/j/ei 

 rendus, 10 juin 1907), on conclut que ces réseaux sont la perspective sur un 



